Что такое парадокс? примеры парадоксов и их виды

Парадокс двух конвертов

Итак, дано условие. Перед тобой лежат два конверта. В одном из них находится определенная сумма денег, а в другом она в два раза больше. Естественно, сколько лежит в каком из конвертов, тебе неизвестно. Что нужно сделать тебе? Взять один из конвертов и проверить, что в нем находится. После этого у тебя есть выбор: оставить себе этот конверт или же взять и открыть другой. Какой из них принесет тебе сумму побольше, ты знать наверняка не можешь, так как одним из условий стоит неизвестность суммы в обоих конвертах. Парадокс заключается в том, что больше денег ты получишь только в том случае, если сделаешь бесконечное число выборов, переходя от одного конверта к другому. Но оставим эту задачу ученым. Какой вывод можем из нее сделать мы? Иногда нужно умерить свои аппетиты и довольствоваться малым. Правда, ты никогда не узнаешь, было ли в другом конверте больше денег либо же ты вытянул такой. Но согласись: порой лучше думать, что ты все сделал правильно, чем облажаться, чтобы убедиться в этом. А вообще, деньги — это не главное, ты это знаешь. Как и то, что с ними, конечно, жить проще.

2. Ахиллес и черепаха

Наверное, самая известная апория Зенона Элейского, с которого и пошли такие вот задачки. Суть этого парадокса такова: есть Ахиллес и черепаха, которые собираются бежать наперегонки. Человек дает животному фору в 500 метров. И, когда черепаха проползает данное расстояние, в соревнование подключается наш атлет, который бежит со скоростью в 10 раз большей, чем у пресмыкающегося. То есть, когда он пробегает 500 метров, черепаха успевает продвинуться еще на 50. Когда Ахиллес продвигается еще на 50 метров — черепаха проползает пять. И так до бесконечности, в которой показано, что человек никогда не догонит черепаху, как бы он ни старался. Да, это противоречит законам физики, но логически все выглядит верно. Зенон своей апорией хотел доказать, что некоторые из математических понятий, например «точка пространства» или «момент времени», не всегда подойдут к реальному движению. А мы хотим этим парадоксом еще раз напомнить тебе о том, что всегда найдутся люди, которые будут впереди тебя, как бы ты ни пытался их обогнать. С этим тебе придется смириться. Ты можешь ориентироваться на них, бежать за ними, тянуться к ним — все это похвально. Но признавать себя лучшим и гордиться собой так же, как Ахиллес, тебе не стоит.

3. Вороны Гемпеля

А этот парадокс вывел философ Карл Густав Гемпель, однажды задавшись вопросом о противоречии человеческой логики и интуиции. Эту апорию Гемпель формирует так: тебе необходимо допустить, что все вороны только черного цвета. Исходя из обычной логики, мы должны сделать вывод, что все предметы, которые не имеют этот цвет, соответственно, воронами не являются. А когда на своем пути ты встретишь не одну такую черную птицу, то еще больше укоренишься в мнении о том, что все вороны черные. Встреча же с предметами другого цвета должна сильнее подпитать твою уверенность в том, что все, что не черного цвета, воронами не является. Это с точки зрения законов логики. Но если следовать интуиции, то эта встреча, по идее, не может заставить поверить человека в то, что абсолютно все вороны будут черного цвета.

Какое практическое значение этот парадокс имеет для нас? На примере с черными воронами, где этот взгляд по формальной логике принимается за истину, мы убеждаемся в силе догматизма. То есть человек всю жизнь думал, что вороны только черного цвета, так как об этом было сказано еще до него, а на своем опыте он убедился в этом. Но вот он встречает, например, этих же птиц, но с другим окрасом. Интуиция подсказывает ему, что это те же самые вороны, однако другого цвета. А вот логика говорит о том, что человек ошибается, приняв за воронов других пернатых. Вывод: слепая вера только лишь приближает тебя к серой массе — стремись проверять все, о чем тебе говорят, и смотри на мир шире.

4. Парадокс Бога

Об этой философской задаче тебе уж точно приходилось слышать. Наверное, даже не один раз. Суть ее проще, чем у предыдущих. Всемогущему существу предлагается создать такую каменную глыбу, которую никому нельзя будет сдвинуть с места. Но если это же существо не сможет ее переставить, тогда утверждение о его всемогущей природе сразу ставится под большой вопрос: как же ему подвластно все, если глыба остается на своем месте. Но даже если у него и получится ее передвинуть, то снова возникает вопрос, только уже с другой стороны. Где его всемогущество, если кусок камня все-таки сдвинули. Такой вот забавный парадокс. На него пытались ответить многие. Например, Декарт утверждал, что сущность этого существа, которое равно Богу, лежит вне человеческой логики.

Теория типов

Выше было отмечено, что у Фреге был адекватный ответ на парадоксы теории множеств в варианте, сформулированном для свойств. Ответ Фреге предшествовал наиболее часто обсуждаемому решению этой формы парадокса. Оно основано на том, что свойства подпадают под различные типы и что тип свойства никогда не бывает таким же, как элементы, к которым он относится.

Таким образом, даже не возникает вопрос, применимо ли свойство к самому себе. Логический язык, который разделяет элементы по такой иерархии, использует теорию типов. Хотя она уже используется у Фреге, впервые ее полностью разъяснил и обосновал Рассел в Приложении к «Принципам». Теория типов была более полной, чем различение уровней Фреге. Она разделяла свойства не только на различные логические типы, но также и множества. Теория типов разрешила противоречие в парадоксе Рассела следующим образом.

Для того чтобы быть философски адекватным, принятие теории типов для свойств требует разработки теории о характере свойств таким образом, чтобы можно было объяснить, почему они не могут применяться сами к себе. На первый взгляд имеет смысл предицировать свое собственное свойство. Свойство быть самотождественным, казалось бы, также является самотождественным. Свойство быть приятным кажется приятным. Точно так же, по-видимому, кажется ложным говорить о том, что свойство быть кошкой является кошкой.

Тем не менее различные мыслители обосновывали деление типов по-разному. Рассел даже давал разные пояснения в разное время своей карьеры. Со своей стороны, обоснование разделения Фреге различных уровней понятий исходит из его теории ненасыщенности понятий. Понятия, как функции, по существу, являются неполными. Чтобы предоставить значение, им нужен аргумент. Нельзя просто предицировать одно понятие понятием того же типа, поскольку оно все еще требует своего аргумента. Например, хотя еще возможно извлечь квадратный корень из квадратного корня некоторого числа, невозможно просто применять функцию квадратного корня к функции квадратного корня и получить результат.

Парадоксы в логике

Основная статья: Логический парадокс

Логический парадокс — противоречие, имеющее статус логически корректного вывода и, вместе с тем, представляющее собой рассуждение, приводящее к взаимно исключающим заключениям. Логическая ошибка парадокса объясняется неверным выбором логических посылок, например, когда речь идет о предметах, не имеющих четкого определения (См. стрела Зенона).

Различаются такие разновидности логических парадоксов, как апория и антиномия.

  • Апория характеризуется наличием аргумента, противоречащего очевидному, общепринятому мнению, здравому смыслу.
  • Антиномия — наличием двух противоречащих друг другу, одинаково доказуемых суждений.

Виды апорий

  • Парадокс лжеца — семейство логических парадоксов, классический вариант которого гласит: «Я лгу», или, более точно: «Данное утверждение ложно». Если предположить, что утверждение истинно, то, поскольку оно гласит свою ложность, оно ложно, что является противоречием. Напротив, если предположить его ложность, то оно соответствует тому, что само гласит, а потому истинно, что также является противоречием. Подобные парадоксу лжеца утверждения часто использовались на протяжении истории философии: он был известен древним грекам и использовался как головоломка средневековыми логиками, а также стал основополагающим объектом исследования современной логики.
  • Парадокс кучи — логический парадокс, сформулированный Евбулидом из Милета (IV век до н. э.), связанный с неопределённостью предиката «быть кучей». Формулировка парадокса основана на базисной предпосылке, согласно которой одно зёрнышко не образует кучи, и индуктивной предпосылке, по которой добавление одного зёрнышка к совокупности, кучей не являющейся, несущественно для образования кучи. При принятии этих предпосылок никакая совокупность из сколь угодно большого количества зёрен не будет образовывать кучи, что противоречит представлению о существовании кучи из зёрен. Парадокс используется как одно из обоснований рассмотрения нечёткой логики.

История

Открытие Рассела произошло во время его работы над «Принципами математики». Хотя он обнаружил парадокс самостоятельно, есть доказательства того, что другие математики и разработчики теории множеств, включая Эрнста Цермело и Давида Гильберта, знали о первой версии противоречия раньше него. Рассел, однако, был первым, кто подробно обсудил парадокс в своих опубликованных работах, первым попытался сформулировать решения и первым в полной мере оценил его значимость. Целая глава «Принципов» была посвящена обсуждению этого вопроса, а приложение было посвящено теории типов, которую Рассел предложил в качестве решения.

Рассел обнаружил «парадокс лжеца», рассматривая теорему множеств Кантора, гласящую о том, что мощность любого множества меньше, чем множества его подмножеств. По крайней мере, в домене должно быть столько же подмножеств, сколько в нем есть элементов, если для каждого элемента одно подмножество будет множеством, содержащим только этот элемент. Кроме того, Кантор доказал, что число элементов не может быть равным числу подмножеств. Если бы их было одинаковое количество, то должна была бы существовать функция ƒ, которая бы отображала элементы на их подмножества. В то же время можно доказать, что это невозможно. Некоторые элементы могут отображаться функцией ƒ на подмножества, которые содержат их, тогда как другие не могут.

Рассмотрим подмножество элементов, не принадлежащих своим образам, в которые их отображает ƒ. Оно само по себе является подмножеством элементов, и, следовательно, функция ƒ должна была бы отобразить его на некоторый элемент в домене. Проблема заключается в том, что тогда возникает вопрос о том, принадлежит ли этот элемент подмножеству, на которое его отображает ƒ. Это возможно только в том случае, если он не принадлежит. Парадокс Рассела можно рассматривать как пример такой же линии рассуждений, только упрощенный. Чего больше – множеств или подмножеств множеств? Казалось бы, что должно быть больше множеств, так как все подмножества множеств сами являются множествами. Но если теорема Кантора верна, то должно существовать больше подмножеств. Рассел рассматривал простейшее отображение множеств на самих себя и применил канторианский подход рассмотрения множества всех этих элементов, не входящих во множества, в которые они отображаются. Отображение Рассела становится множеством всех множеств, в себя не входящих.

Парадокс лжеца

1Gai.Ru / hereticwear.com

Это хорошо известный парадокс, который сформулировал великий философ-стоик Хрисипп. Говорят, поэт, грамматист и критик Филит Косский умер от истощения, пытаясь решить эту проблему. 

Критянин приплыл в Грецию и сказал грекам на берегу: «Все критяне – лжецы». Что он сказал: правду или ложь? Неделей позже критянин снова приплыл в Грецию и произнес: «Все критяне – лжецы, а все, что я говорю, – правда». Греки на берегу так и не поняли, сказал ли гость правду в первый раз, поэтому они были по-настоящему озадачены. 

Если кто-то говорит: «Я всегда лгу», говорит ли он правду? Или он обманывает, как и сказал?

Парадоксы в искусстве

Парадокс как художественный приём

Парадоксальность — чрезвычайно распространённое качество, присущее произведениям самых разных жанров искусства

В силу своей необычности парадоксальные высказывания, названия, содержания произведений неизменно привлекают к себе внимание людей. Это широко используется в разговорном жанре, в театральном и цирковом искусствах, в живописи и фольклоре

Хороший оратор обязательно использует этот приём в своих выступлениях для поддержания живого интереса слушателей. Комизм большинства анекдотов заключается в описании необычной, оригинальной ситуации. Популярная детская «поэзия нелепостей» Льюиса Кэрролла и Корнея Чуковского также построена на этом художественном приёме.

Парадоксальны многие афоризмы известных мыслителей. Например, высказывания Вольтера: «Ваше мнение мне глубоко враждебно, но за ваше право его высказать я готов пожертвовать своей жизнью» или Ницше: «Нищих надобно удалять — неприятно давать им и неприятно не давать им», Фрумкера: «Мужчина от женщины отличается тем, что перед совершением ошибки он всё тщательно продумывает». Парадоксальностью отличаются и афоризмы Козьмы Пруткова, Бернарда Шоу.

Парадокс в музыке

В классической музыке парадоксом принято называть изысканные, странные произведения или фрагменты, отличающиеся от традиционного звучания.

Также парадоксами в древней Греции называли победителей в олимпийских состязаниях певцов и исполнителей инструментальной музыки.

Удивительные парадоксы

5. Существует бесконечно длинный «рог», которые имеет конечный объём, но бесконечную площадь поверхности.

Двигаясь навстречу проблеме, появившейся в 17 веке, мы получаем один из многих парадоксов, связанных с геометрией и бесконечностью.

«Рог Гавриила» формируется путём взятия кривой y = 1/х и поворота вокруг горизонтальной оси, как показано на рисунке.

Используя методы исчисления, которые позволяют вычислить площади и объёмы построенных таким образом фигур, можно видеть, что бесконечно длинный рог фактически имеет конечный объём, равный числу пи, но бесконечную площадь поверхности.

Иными словами, в рог поместится определённое количество краски, но для того, чтобы покрыть краской всю его поверхность, потребуется её бесконечное количество.

6. Гетерологическое слово – это слово, которое не описывает себя. А описывает ли себя слово «гетерологический»?

Это один из многих парадоксов, который долго томил умы современных математиков и логиков.

Примером гетерологического слова может быть слово «глагол», которое не является глаголом по сути (в отличие от «существительного», которое является существительным). Другим примером может быть слово «длинный», которое не является длинным словом (в отличие от слова «короткий», которое является коротким словом).

Так «гетерологический» является гетеролигическим словом или нет? Если бы это было бы слово, которое не описывает себя, тогда оно бы описывало себя. А если бы оно было словом, которое описывает себя, оно бы не описывало себя.

Это связано с парадоксом Рассела, который спрашивает, содержит ли определённое множество себя в качестве элемента. 

Создавая подобные самоуничтожающиеся множества, Бертран Рассел (Bertrand Russell) и другие учёные продемонстрировали важность установления тщательных правил при создании множеств, которые заложили основу математики 20 века

Парадокс стрелы

Не менее интересен вывод, сделанный Зеноном при виде летящей стрелы. Так как время состоит из моментов, равных 0 секунд, значит, и у летящей стрелы движение в каждый момент нулевое. Раз не было движения в один из моментов, значит, оно и не начиналось.

Умница и красавица: что известно о дочери Александра Лазарева-младшего

В США была поймана большая золотая рыбка весом около 4 кг

Масло чайного дерева разгладит кожу. 8 домашних средств от ожогов бритвой

Сегодня подобные размышления древнего философа отнесли бы к современному восприятию квантовой механики. Например, в книге Кевина Брауна «Размышления об относительности» говорится, что, согласно этой теории, движущийся и статичный объекты всегда отличаются. Отличия касаются и их наблюдателей. В данном случае все участники опыта разнятся не только своими свойствами, но и восприятием окружающего мира.

Ошибка Фреге

«Парадокс лжеца» имел глубокие последствия для исторического развития теории множеств. Он показал, что понятие универсального множества является крайне проблематичным. Он также подверг сомнению понятие о том, что для каждого определяемого условия или предиката можно предположить существование множества только тех вещей, которые удовлетворяют этому условию. Вариант парадокса, касающийся свойств – естественное продолжение версии со множествами – вызвал серьезные сомнения по поводу того, можно ли утверждать об объективном существовании свойства или универсального соответствия каждому определяемому условию или предикату.

Вскоре были найдены противоречия и проблемы в работах тех логиков, философов и математиков, которые делали подобные предположения. В 1902 году Рассел обнаружил, что вариант парадокса можно выразить в логической системе, разработанной в I томе Готтлоба Фреге «Основания арифметики», одной из главных работ по логике конца XIX – начала XX века. В философии Фреге множество понимается как «расширение» или «значение-диапазон» понятия. Понятия являются ближайшими коррелятами к свойствам. Предполагается, что они существуют для каждого заданного состояния или предиката. Таким образом, существует понятие множества, которое не подпадает под его определяющее понятие. Существует также класс, определяемый этим понятием, и он подпадает под определяющее его понятие только в случае, если это не так.

Рассел написал Фреге об этом противоречии в июне 1902 г. Переписка стала одной из самых интересных и обсуждаемых в истории логики. Фреге немедленно признал катастрофические последствия парадокса. Он отметил, однако, что версия противоречия, касающаяся свойств, в его философии была разрешена путем различения уровней понятий.

Фреге понятия понимал как функции перехода от аргументов к значениям истинности. Понятия первого уровня принимают в качестве аргументов объекты, понятия второго уровня принимают в качестве аргументов эти функции и так далее. Таким образом, понятие никогда не может взять себя в качестве аргумента, а парадокс в отношении свойств не может быть сформулирован. Тем не менее множества, расширения или понятия понимались Фреге как относящиеся к тому же логическому типу, что и все остальные объекты. Тогда для каждого множества возникает вопрос, подпадает ли оно под определяющее его понятие.

Когда Фреге получил первое письмо Рассела, второй том «Оснований арифметики» уже заканчивал печататься. Он был вынужден быстро подготовить приложение, дающее ответ на парадокс Рассела. Примеры Фреге содержали ряд возможных решений. Но он пришел к заключению, ослабившему понятие абстракции множества в логической системе.

В оригинале можно было прийти к выводу, что объект принадлежит множеству тогда и только тогда, когда он подпадает под понятие, его определяющее. В пересмотренной системе можно лишь заключить, что объект принадлежит множеству тогда и только тогда, когда он подпадает под понятие определяющего множества, а не множества, о котором идет речь. Парадокс Рассела не возникает.

Решение, однако, не совсем удовлетворило Фреге. И этому была причина. Несколько лет спустя для пересмотренной системы была найдена более сложная форма противоречия. Но еще до того, как это произошло, Фреге отказался от своего решения и, кажется, пришел к выводу, что его подход был просто неработоспособен, и что логикам придется обойтись вообще без множеств.

Тем не менее были предложены иные, относительно более успешные альтернативные решения. Они обсуждаются ниже.

Что такое парадокс

Парадоксом считают ситуацию, которая произошла в действительности, но не поддается логическому объяснению. Значение слова парадокс – это мнение или суждение, которое расходится с общественными нормами, но имеет подтверждение в жизни. Иными словами это что-то нереальное, кажущееся и необычное. Лев Николаевич Толстой говорил об этом так: «Мысль, представлявшаяся ему сначала как странность, как парадокс, даже как шутка, все чаще и чаще находя себе подтверждение в жизни, вдруг предстала ему как самая простая, несомненная истина». Парадокс это всегда полуправда, как говорил Оскар Уайльд. Парадоксальность часто использовалась в искусстве. Чаще всего их использовали писатели и ораторы, чтобы заинтересовать читателей и слушателей. Такие парадоксы считаются выдуманными. Но мы подробнее поговорим о реальных парадоксах, происходящих в жизни и науке.

Интересные парадоксы

3. Если вы восстановили корабль, заменив все его деревянные части, это остался тот же корабль?

Ещё один классический парадокс из Древней Греции, «Корабль Тесея» — это парадокс о противоречиях идентичности. Его хорошо описал Плутарх.

Корабль, на котором Тесей и молодёжь Афин возвращались с Крита, имел 30 весёл, которые были сохранены вплоть до времён Димитрия Фалерея. А всё благодаря тому, что когда старые деревянные доски начали разлагаться, их заменили на новые, более крепкие.

Они держались так долго, что этот корабль стал постоянной темой обсуждения среди философов, которые говорили о логике разных вещей, которые изменяются. Одна группа философов говорила, что корабль остался тем же, в то время, как другие философы настаивали, что после замены брёвен, корабль стал другим.

4. Может ли Всемогущий создать скалу, слишком тяжёлую для того, чтобы он сам мог её поднять?

Как может существовать зло, если Бог всемогущ? Как можем мы называть себя свободными, если Бог всеведущ?

Это лишь несколько из многих существующих парадоксов, касающихся применения вопросов логики к божественной теме.

Некоторые люди могут ссылаться на эти парадоксы, объясняя тем самым, почему они не верят в высшее существо. Однако, другие говорят, что они несущественны и по разным причинам не работают.

Временные парадоксы.

В теории относительности Эйнштейна нет ничего, что могло бы исключить путешествие во времени, хотя само понятие путешествия в прошлое нарушает одну из самых фундаментальных предпосылок физики. А именно — причинность

Принимая во внимание законы причины и следствия, естественно возникает ряд несоответствий и парадоксов, связанных с путешествиями во времени. Итак, мы можем столкнуться с такими парадоксами:

Парадокс предопределения.

Парадокс предопределения возникает, когда действия человека, путешествующего во времени, становятся частью прошлых событий. Что в конечном итоге может вызвать событие, которое он пытается предотвратить. Это приводит к «временной петле причинности», в которой событие 1 в прошлом влияет на событие 2 в будущем, что затем приводит к возникновению события 1. Этот круговой цикл событий гарантирует, что история не будет изменена путешественником во времени. Любые попытки остановить что-то в прошлом, просто приведут к самой причине, а не остановят ее. Этот парадокс говорит о том, что все всегда должно происходить одинаково, и что бы ни случилось, должно случиться.

Примеры парадокса предопределения можно наблюдать в следующих фильмах:

  • 12 Обезьян (1995);
  • Временная петля (2007);
  • Жена путешественника во времени (2009);
  • Предопределение (2014);
  • Машина времени (2002).

Парадокс убитого дедушки.

Этот парадокс времени порождает «самосогласованное решение». Потому что, если бы вы отправились в прошлое и убили своего дедушку, вы бы никогда не родились и не смогли бы отправиться в прошлое — парадокс. Допустим, вы решили убить своего деда, потому что он создал вирус, который практически уничтожил весь мир. Вы полагаете, что, если вы убьете его до того, как он встретит вашу бабушку. Вся семейная линия (включая вас) исчезнет, ​​а мир останется цел. По мнению физиков-теоретиков, такая ситуация невозможна. Даже если вы сможете попасть в прошлое, то все ваши попытки навредить деду, или изменить историю не увенчаются удачей. Пистолет заклинит, яд выпьет кто-то другой и так далее.

Но стоит отметить, что если брать в расчет гипотезу множественных вселенных, то убить дедушку в прошлом возможно. Вы нажимаете на курок и бум! Дело сделано. Вы возвращаетесь в «настоящее», но вас здесь никогда не было. Все о вас было стерто, включая вашу семью, друзей, дом, имущество, банковский счет и историю. Вы попали в линию времени, где вы никогда не существовали. Ученые считают, что вы создали альтернативную временную шкалу или вошли в параллельную вселенную.

Подобно парадоксу дедушки, который парадоксальным образом предотвращает ваше собственное рождение, парадокс убийства Гитлера стирает причину вернуться назад во времени, чтобы убить его. Кроме того, что убийство дедушки может иметь ограниченный «эффект бабочки», убийство Гитлера имело бы далеко идущие последствия для всех в мире. Суть в том, что если бы вы убили Гитлера, то ни одно из его преступлений не попало бы в историю, и не заставило бы вас желать его смерти.

Карточный парадокс

 1Gai.Ru / wikipedia.org

Представьте, что вы держите в руке карточку, на одной стороне которой написано: «Утверждение на другой стороне этой карточки верно».

Назовем его Утверждением А. Переверните карточку, и на противоположной стороне будет написано: «Утверждение на другой стороне этой карточки ложно» (Утверждение Б). Однако попытка приписать «истину» утверждению A или Б приводит к парадоксу: если A истинно, то Б также должно быть истинным. Но для того чтобы Б было истинным, A должно быть ложным. И наоборот – если A ложно, то Б тоже должно быть ложным, что в итоге должно сделать A истинным.

Карточный парадокс, изобретенный британским логиком Филипом Журденом в начале 1900-х годов, – это простое объяснение уже знакомого нам парадокса лжеца, при котором приписывание значений истинности утверждениям, которые претендуют на то, чтобы быть истинными или ложными, приводит к противоречию.

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Андрей Измаилов
Наш эксперт
Написано статей
116
Добавить комментарий