Лев понтрягин

Лев Семенович Понтрягин

Биография Льва Семеновича Понтрягина является живым примером вдохновенного труда, несгибаемой воли, железного упорства и могущества человека. Сын конторского работника, он рано приобщился к труду. Будучи учеником 6‑го класса, Л. С. Понтрягин от взрыва примуса потерял зрение на оба глаза. Но и слепым он продолжал учиться. Математика давалась ему легко, куда легче музыки, которой он пробовал заниматься. Уже в 8‑м классе он завершил школьный курс математики и приступил к изучению высшей математики.

Помогли товарищи, а главным образом мать, окружившая сына вниманием и заботой. Чтобы помочь слепому сыну учиться, Татьяна Андреевна Понтрягина читала вслух учебники и выполняла роль «личного секретаря» Левы

А когда сын стал аспирантом, она научилась читать на иностранных языках, благодаря чему Лев был знаком с зарубежной научной литературой.

В 1925 году Л. С. Понтрягин успешно окончил среднюю школу и поступил учиться в Московский университет на физико‑математический факультет. В 1927 году профессор П. С. Александров привлек Понтрягина к занятиям в научном (топологическом) семинаре.

Л. С. Понтрягину исполнился 21 год, когда он окончил Московский университет; 23 лет он закончил аспирантуру и стал читать лекции в университете, где раньше учился; 27 лет Понтрягин получил ученую степень доктора физико‑математических наук и ученое звание профессора. На 31‑м году жизни за свои выдающиеся заслуги в области науки молодой ученый избирается членом‑корреспондентом Академии наук. Теперь Л. С. Понтрягин – действительный член Академии.

Понтрягину принадлежит ряд замечательных открытий, причем сформулированный им так называемый общий топологический закон двойственности носит название «закона Понтрягина». Его книга «Непрерывные группы», за которую он получил Государственную премию в 1941 году, нашла всеобщее признание и является образцом в мировой математической литературе.

В 1962 году за разработку математических методов в экономике, согласно которым максимум результата получается при минимальных затратах (оптимальные управления), академик Л. С. Понтрягин вместе с учеными В. Г. Болтянским, Р. В. Гамкрелидзе и Е. Ф. Мищенко получил Ленинскую премию. Под руководством Л. С. Понтрягина создана новая область математики – теория оптимальных процессов. Эта теория нашла широкое признание математиков всего мира. Как у нас, так и за рубежом появились сотни статей, авторы которых пользуются расчетными формулами Понтрягина и установленными им принципами.

С помощью новой теории академика Понтрягина ученые рассчитывают оптимальные программы расхода топлива, находят наивыгоднейшие схемы электропривода и т. д.

Л. С. Понтрягин – человек весьма щедрой души. Он всегда рад поделиться своими знаниями и смело привлекает к разработке актуальных научных проблем способных молодых ученых. Лев Семенович – талантливый педагог. На своих увлекательных лекциях он умеет мастерски отделить главное от второстепенного и связать изучаемый материал с насущными проблемами современной науки

Прославленного ученого слушают с большим вниманием, он не любит повторяться и разбавлять свои выступления «подслащенной» водичкой

Список научных трудов академика Л. С. Понтрягина доходит до ста. Каждый из них является значительным вкладом в науку. Многие работы ученого переведены на иностранные языки и получили огромный резонанс в ученом мире.

«Л. С. Понтрягин, уже ранее зарекомендовавший себя несколькими блестящими работами… выступает как ученый, создавший свое собственное направление в математике и являющийся в настоящее время бесспорно самым крупным (в международном масштабе) представителем так называемой топологической алгебры, т. е. совокупности вопросов, пограничных между алгеброй и топологией».

«Вдохновение и труд – неразрывные стороны творческого процесса. Вот что говорит Л. С. Понтрягин о путях, которыми он шел к своим крупнейшим результатам: „Основная стадия творческой работы представляет собой упорную, нередко требующую ряда лет работу, когда еще бывает неясен конечный результат, и шаг за шагом преодолеваются трудности и препятствия. Затем в результате этой упорной „предварительной степени“ бывает иногда, что мне сразу становится виден конечный результат, сверкнет счастливая догадка. Иногда она приходит в бессонную ночь, когда не спишь и думаешь о чем‑то неопределенном. Затем наступает последняя стадия – период внимательной тщательной проверки“».

 «Вся судьба Льва Семеновича Понтрягина – это многотрудный подвиг настоящего человека. Но этот подвиг был бы немыслим без условий, которые дала советской молодежи социалистическая Родина».

Педагогическая деятельность

Лев Понтрягин уделял большое внимание вопросам преподавания математики в советской средней школе. Он написал цикл книг по математике для школьников, не ставших, однако, популярными.. К концу 1960 — началу 1970-х годов в школьной математике начало разрешаться противоречие между необходимой строгостью математических доказательств и их понятностью

Понтрягин занял очень жёсткую позицию по вопросу реформы преподавания математики, в 1980 году он опубликовал в журнале «Коммунист» статью «О математике и качестве её преподавания», фактически прекратившую чрезмерную формализацию («бурбакизацию») школьной математики. Учёный считал, что результат изучения математики в школе — это приобретение важнейших навыков вычислять, владеть геометрическими представлениями, то есть обучение конкретным приёмам, важным для дальнейшей трудовой деятельности. Известны его весьма резкие оценки (он употреблял слово «диверсия») непродуманных реформ преподавания, осуществлявшихся, в частности, А. Н. Колмогоровым.

К концу 1960 — началу 1970-х годов в школьной математике начало разрешаться противоречие между необходимой строгостью математических доказательств и их понятностью. Понтрягин занял очень жёсткую позицию по вопросу реформы преподавания математики, в 1980 году он опубликовал в журнале «Коммунист» статью «О математике и качестве её преподавания», фактически прекратившую чрезмерную формализацию («бурбакизацию») школьной математики. Учёный считал, что результат изучения математики в школе — это приобретение важнейших навыков вычислять, владеть геометрическими представлениями, то есть обучение конкретным приёмам, важным для дальнейшей трудовой деятельности. Известны его весьма резкие оценки (он употреблял слово «диверсия») непродуманных реформ преподавания, осуществлявшихся, в частности, А. Н. Колмогоровым.

Понтрягин разбирал случаи того, «как не надо делать»: например, стремление к большей общности при реформировании школьных программ в 1970-е годы и повсеместное употребление «множества» как научного термина выразилось в том, что геометрическая фигура определялась в учебниках как «множество точек».

Заметим здесь, что П. С. Александров употреблял это слово в бытовой речи. Назвал пароход «Олимпик» конгруэнтным «Титанику» (письмо А. Н. Колмогорову от 03.04.1931 г.), а стол, за которым сидел, конгруэнтным и конгруэнтно расположенным на конгруэнтном пароходе (письмо А. Н. Колмогорову от 28.05.1931 г.)

Острое неприятие вызвали у Понтрягина и «гуманитарные эксперименты» в преподавании математики:

В Викицитатнике есть страница по темеПонтрягин, Лев Семёнович

В 1971 году, в момент создания факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ, Лев Понтрягин организует кафедру оптимального управления в составе ВМК МГУ, заведующим которой он являлся (1971—1988).

НАШИ ЛЮДИ

Яу Шинтун
Математики

китайский и американский математик

Ярник, Войтех
Математики

чешский учный-математик, педагог, профессор , доктор наук , академик Чехословацкой академии наук

Яновская, Софья Александровна
Математики

советский математик, философ, педагог, создатель советской школы философии математики

Яненко, Николай Николаевич
Математики

выдающийся советский математик, геометр и механик

Якубович, Владимир Андреевич
Математики

российский математик

Якоби, Карл Густав Якоб
Математики

немецкий математик и механик

Эфендиев, Мамед Рашид оглы
Математики

советский математик-педагог, Заслуженный деятель науки Азербайджанской ССР

Эттинсгаузен, Андреас фон
Математики

немецкий математик и физик

Научная деятельность

Топология

В топологии Понтрягину принадлежит обобщение закона двойственности Александера — общий закон двойственности, на основе которого построил теорию характеров непрерывных групп (характеров Понтрягина). Получил ряд результатов в теории гомотопий (классы Понтрягина). Неожиданным для своего времени результатом стал установленный факт, что размерность компактов не есть сумма их размерностей. Выяснил связи между группами Бетти.

Теория колебаний

В начале 1930-х Понтрягин начал активно заниматься прикладными разделами математики. А. А. Андронов предложил ему начать совместную научную работу в области теории колебаний. В теории колебаний главные результаты Понтрягина относятся к асимптотике релаксационных колебаний.

Изучая работу различных физических приборов и используемые для её описания дифференциальные уравнения (главным образом по книге «Теория колебаний» А. А. Андронова, А. А. Витта и С. Э. Хайкина), Понтрягин пришёл к мысли о необходимости изучения самих приборов и составления соответствующих уравнений. Для этого пришлось познакомиться с физическими понятиями ёмкость, самоиндукция, взаимоиндукция, электрическая цепь, законы Кирхгофа, ламповый генератор и т. д. Оказалось, что кроме свойств, соответствующих замыслу конструктора, в приборах часто возникают не предусмотренные конструктором паразитные явления. Например, короткие проводники дают дополнительное малое сопротивление, близко расположенные детали могут давать также малую паразитную ёмкость. При составлении соответствующих уравнений часто их влиянием пренебрегают. Оказывается, однако, что в некоторых случаях эти малые паразитные параметры являются коэффициентами при старших производных. Если заменить их нулями, понизится, что может привести к неправильному описанию изучаемого явления, некоторые процессы оказываются за гранью исследования. Например, модель показывает, что прибор будет работать только ограниченное время или изменения в нём будут происходить медленно, в то время как этого не происходит.

Первым детально разбираться с такими процессами с приложениями к радиоприборам стал ученик А. А. Андронова Н. А. Железцов. Именно он ввёл понятие быстрых и медленных движений (этот подход лёг в основу асимптотического анализа такого рода задач), исследовал фазовые портреты двумерных разрывных систем и основных радиосхем с разрывными колебаниями (теперь используется термин «релаксационные колебания»). Для того чтобы познакомиться с этими работами, в город Горький приезжал Понтрягин. К этой задаче он привлёк сначала своего ученика Е. Ф. Мищенко.

Принцип максимума

В начале 1950-х годов Лев Понтрягин организовал семинар в МИАНе, на который стал приглашать учёных практиков и прикладников, инженеров, которые рассказывали там о своих задачах. На семинаре был заведён порядок, по которому чисто математические доклады не допускались.

На одном из семинаров состоялось выступление Александра Ароновича Фельдбаума, крупного отечественного специалиста в теории автоматического регулирования. А. А. Фельдбаум не был математиком, его научные интересы относились к авиации, и к тому времени ему удалось решить некоторые задачи управления с приложениями к этой области. Его интересовало создание математической теории, описывающей преследование одного самолёта другим. Так Понтрягин познакомился с проблемой, выросшей затем в теорию дифференциальных игр. Тогда же он привлёк к работе своих учеников Р. В. Гамкрелидзе, В. Г. Болтянского, Е. Ф. Мищенко. Было предложено упростить задачу, рассматривать один управляемый объект и считать, что вся задача заключается в том, чтобы перевести его из одного состояния в другое наиболее быстрым способом. Это привело коллектив Понтрягина к математической теории оптимального управления, которую он сам считал главным достижением всей их деятельности. Центральным результатом этой теории является так называемый принцип максимума, сформулированный Понтрягиным, а затем доказанный в частном случае Р. В. Гамкрелидзе и в общем случае В. Г. Болтянским. Сама формулировка принципа максимума являлась серьёзным открытием (1958 год), теперь называемым принципом максимума Понтрягина. Коллектив под руководством Льва Понтрягина (Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко) за эти работы и работы по малому параметру при производных был удостоен Ленинской премии в 1962 году.

Книга воспоминаний

Академик АН СССР Л. С. Понтрягин написал очень интересную книгу воспоминаний, из которой можно узнать подробности из истории математики в СССР второй половины 20 столетия. В этой книге представлены фигуры множества талантливых ученых – Колмогорова, Александрова, Лузина и других. В ней довольно много интимных откровений, а также описаний достаточно непростой личной жизни Льва Семеновича. Кроме того, ученый рассказывает в ней о некоторых особенностях собственного научного мышления. Ученый пишет о том, как решал «в уме» сложнейшие задачи, не используя никакие средства визуализации. Однако самое главное, пожалуй, — это то, что воспоминания ученого дают всем нам пример огромного жизнелюбия и упорства, неистощимых ресурсов человеческого мозга, которые мы используем лишь в ничтожной степени.

Как сложно ездить на трамвае


Академик АН СССР, член-корреспондент Лев Семенович Понтрягин. 1962 год. Фото: Д. Сорокин / РИА Новости

Одной из основных задач Понтрягина было вести нормальный образ жизни. Не чувствовать себя инвалидом. Не давать почувствовать это другим. Он практически не пользовался никакими специальными приспособлениями.

Исключения составляли разве что магнитофоны, да, их было несколько, и без них история бы не сложилась столь удачно. Один из них у математика украли и вывезли в Махачкалу, но там милиция непостижимым образом нашла воров. Магнитофон вернули.

В жизни этого человека поражает сочетание обыденности и какой-то полнейшей инопланетности.

Лев Семенович из принципа не пользовался тяжеленными томами, написанными шрифтом Брайля. Ходил без трости и без помощи других людей. Его лицо было практически всегда со свежими ссадинами и царапинами, часто падал. Но поднимался и шел дальше. Научился кататься на коньках, ходить на лыжах. Очень любил танцы.

Вспоминал, что в 1948 году, будучи в санатории «Абрамцево», «каждый час прикладывался к бутылке с портвейном».

Ничто человеческое ему не было чуждо.

А по ночам не спал, прокручивал в голове все, что навалилось туда за день. Ненужное отсеивал, нужное многократно прогонял, запоминал.

Лев Семенович добился своего, его никто не воспринимал как неполноценного человека. Напротив, поражались его слуху, как известно, у слепых он обостряется, каким-то необычным ситуациям, тоже связанным с его физическими особенностями.

Математик Михаил Зеликин вспоминал, как по договоренности пришел к нему домой: «Я поднялся на нужный этаж и посмотрел на часы. Было без двух минут 11. Выждав эти 2 минуты, ровно в 11:00 я нажал на кнопку звонка. Лев Семенович открыл дверь, пригласил войти и спросил меня: «Это Вы несколько минут назад поднялись на лифте?»»

И тот же Зеликин вспоминал их разговор: «Изредка он просил меня перечитать какую-нибудь из формул, но чаще он их и так помнил. В какой-то момент он надолго задумался над доказательством. Потом сказал: «Кажется, что-то похожее было у Осгуда. Миша, возьмите на второй слева и третьей сверху полке седьмую слева книгу. Это книга Осгуда по теории функций. Откройте такую-то главу и прочтите ее мне».

Еще студентом как-то поразил аудиторию. Прервал лекцию профессора Бухгольца громкой фразой: «Профессор, вы ошиблись в чертеже».

Он слушал стук мела о доску, и в какой-то момент обнаружил несоответствие реальных звуков и тех, что раздавались у него в голове.

Впрочем, и трудностей было немало. Понтрягин писал в мемуарах: «Сама поездка в трамвае была мучительна… Были случаи, когда кондуктор внезапно объявлял: «Прошу граждан покинуть вагон, трамвай дальше не идет». Это для меня означало необходимость поисков другого трамвая в совершенно неизвестном для меня месте, что я сделать один не мог. Приходилось кого-нибудь просить о помощи».

А вот как выглядела технология посадки в тот трамвай: «Я стоял на остановке и ждал, когда трамвай приблизится ко мне. Когда он останавливался, я бросался с тротуара к трамваю, целясь попасть позади передней площадки, через которую я входил. И затем бежал вдоль трамвая до передней площадки, чтобы влезть в нее. Были случаи, когда я запаздывал, а трамвай начинал двигаться. Иногда мне удавалось его догнать. А были случаи, когда это не удавалось и приходилось быстро отскакивать, чтобы не оказаться под прицепом».

Даже родная мать, та самая, благодаря которой Лев Семенович и состоялся как ученый, с годами стала создавать проблемы, и не шуточные.

Ничего нового, история классическая. Взрослому ученому хотелось завести семью. Она же всеми правдами и неправдами отгоняла от сына потенциальных невест.

В результате оба брака (первую невесту подобрала лично Татьяна Андреевна, вторую Лев Семенович нашел сам) вышли несчастливыми, давали больше нервотрепки и проблем, чем счастья и отдохновения.

Просто в его ситуации многие мелочи становились проблемой: «Привлекательность женщины определяется не только ее характером, повадками и голосом, но также и физическим обликом. На горьком опыте я убедился, что физический облик играет для меня существенную роль и что на чужое мнение полагаться нельзя.

Были случаи, когда женщина, казавшаяся мне необыкновенно привлекательной, оказывалась совершенно неприемлемой, как только я приходил в самое поверхностное физическое соприкосновение с ней.

Если я имел дело с девушкой, которая, возможно, согласилась бы стать моей женой, я не решался переступить ту грань, которая позволила бы мне сделать заключение о ее физическом облике, так как считал, что такие действия слишком меня обязывают».

Он был еще и джентльменом.

Биография

Детство

Лев Понтрягин родился 21 августа (3 сентября) 1908 год в Москве. Отец Понтрягина — Семён Акимович (ум.1927), происходил из ремесленников-сапожников Орловской губернии, окончил шесть классов городского училища, воевал в Русско-японскую и Первую мировую войны, оказался в германском плену и пробыл там долгое время, после возвращения в Россию работал счетоводом. Мать — Татьяна Андреевна, до замужества Петрова (ум.1958), из крестьян Ярославской губернии, выучившаяся в Москве на портниху, была умной, незаурядной женщиной.

В 14 лет Лев потерял зрение в результате несчастного случая (взорвавшийся примус вызвал сильнейший ожог лица)

Сама жизнь его была настолько в серьёзной опасности, что на глаза сразу не обратили внимание. Попытка вернуть зрение последующей хирургической операцией вызвала сильнейшее воспаление глаз и привела к полной слепоте

Для Семёна Понтрягина трагедия сына стала жизненной катастрофой, он быстро потерял трудоспособность. Последние годы жизни он находился на инвалидности и скончался в 1927 году от инсульта.

Учёба в университете

После смерти супруга Татьяна Понтрягина посвятила себя сыну. Не обладая никаким специальным математическим образованием, она вместе с сыном взялась за обучение математике, вместе с ним прошла подготовку к поступлению в университет, а после зачисления в 1925 году помогала сыну-студенту. Так Татьяна Понтрягина выучила немецкий язык и много читала сыну, иногда в день сотнями страниц специальный текст научных статей на немецком языке.

Благодаря этому при полной слепоте Лев Понтрягин, окончив среднюю школу, в 1929 году получил высшее образование на математическом отделении физико-математического факультета Московского университета. Одногруппником Понтрягина был Л. И. Седов — впоследствии выдающийся учёный-механик, академик АН СССР.

Показателен следующий случай (по воспоминаниям А. П. Минакова): «идёт лекция профессора Николая Николаевича Бухгольца, все слушают не очень внимательно, вдруг голос Понтрягина: „Профессор, вы ошиблись на чертеже!“ Оказывается, он, будучи слепым, „слышал“ расстановку букв на чертеже и понял, что там не всё в порядке».

Окончив университет, Лев Понтрягин поступил в двухгодичную аспирантуру к П. С. Александрову.

Начало научной карьеры

Лев Понтрягин начал свою научную работу очень рано, в возрасте восемнадцати лет, будучи студентом второго курса университета.

В 1930 году Понтрягина зачислили доцентом кафедры алгебры Московского университета и сотрудником НИИ математики и механики МГУ. В 1935 году в СССР были восстановлены учёные степени и звания и ему без защиты Высшей аттестационной комиссией была присуждена степень доктора физико-математических наук и в том же году он был утверждён в звании профессора.

Работа

Понтрягин работал над теорией двойственности для гомологий , еще будучи студентом. Он заложил основы абстрактной теории преобразования Фурье , которая теперь называется двойственностью Понтрягина . Вместе с Рене Томом он считается одним из основателей теории кобордизма и соавторов центральной идеи этой теории, согласно которой кобордизм и стабильная гомотопия эквивалентны. Это привело к введению около 1940 г. теории некоторых характеристических классов , теперь называемых классами Понтрягина , предназначенной для обращения в нуль на многообразии , являющемся границей . В 1942 г. он ввел когомологические операции, которые теперь называются квадратами Понтрягина . Более того, в теории операторов есть конкретные примеры пространств Крейна, называемые пространствами Понтрягина .

Позже в своей карьере он работал в области теории оптимального управления . Его принцип максимума лежит в основе современной теории оптимизации. Он также представил там идею принципа взрыва , чтобы описать ситуации, когда применяемое управление в каждый момент является либо максимальным «рулевым», либо нулевым.

Понтрягин является автором нескольких влиятельных монографий, а также популярных учебников по математике.

Памятник Льву Понтрягину на стене дома на Ленинском проспекте в Москве , где он жил с 1939 по 1988 год.

Среди учеников Понтрягина — Дмитрий Аносов , Владимир Болтянский , Реваз Гамкрелидзе , Евгений Мищенко, Михаил Постников , Владимир Рохлин , Михаил Зеликин .

Реки не двигаем, в шахматы не играем


Академики Л.С.Понтрягин, П.С.Александров и А.Н.Колмогоров. Фото А.И.Понтрягиной, с сайта pont2008.cmc.msu.ru

К сожалению, мы здесь не можем рассказать о главном. Что сделал Понтрягин в математике? Каковы профессиональные достижения этого удивительного человека? Они велики, но нам их не понять. Тем не менее, о многом говорит тот факт, что в высшей математике существуют термины: «поверхность Понтрягина», «класс Понтрягина», «двойственность Понтрягина», «принцип максимума Понтрягина».

Лев Семенович считается создателем топологической алгебры, но опять же, многие ли понимают что это такое? Опубликовал около трех сотен научных работ. Его теориями пользуются при расчетах схем электропривода, оптимизации расхода топлива.

Понтрягин был если не реформатором науки, то во многом именно он определял ее развитие.

В семидесятые Лев Семенович сделался «общественником»

Писал в журнале «Коммунист» о неудачном реформировании преподавания математики в школе: «Мое внимание привлекло в школьном учебнике определение вектора. Вместо общепринятого и наглядного представления о нем как о направленном отрезке (именно такое определение, например, сохранилось и в «Политехническом словаре»…) школьников заставляют заучивать следующее: «Вектором (параллельным переносом), определяемым парой (А, В) несовпадающих точек, называется преобразование пространства, при котором каждая точка М отображается на такую точку М1, что луч ММ1 сонаправлен с лучом АВ и расстояние ММ1 равно расстоянию АВ»»

Академик лучше многих понимал, что математика и без того сложна, чтобы усложнять ее сверх меры, да еще и школьникам.

К нему прислушались. Учебники переписали.

Выступал против поворота сибирских рек, была такая сумасшедшая идея. Исключительно с позиций математики он доказал необоснованность расчетов. И тут к нему тоже прислушались.

Поражал парадоксальностью суждений. Писал, в частности: «Безосновательным мне кажется утверждение, что, играя в шахматы, люди совершенствуют свои умственные способности. Я считаю, что игра в шахматы скорее изнуряет умственные способности. Лучше уж совершенствовать их на чем-то нужном».

К концу жизни начались проблемы со здоровьем. По настоянию своей второй жены, Лев Семенович сделался вегетарианцем, почти полностью перешел на сыроедение, и проблемы отступили.

Но вечной жизни не бывает, и в 1988 году академик Понтрягин скончался. Его похоронили на Новодевичьем кладбище. В честь него назвали астероид и улицу в Москве, а также установили два бюста. Один из этих бюстов находится в Российской государственной библиотеке для слепых.

Научная карьера

Лев Семенович в период с 1930 по 1932 год являлся доцентом кафедры алгебры, а также сотрудником НИИ математики и механики. В 1932-1933 гг. он был сотрудником и распложенной при МГУ лаборатории колебаний (относится к Институту физики). Ученый-математик с 1934 года и до конца своей жизни преподавал в МГУ. В 1934 году он был исполняющим обязанности профессора, а в 1935-1938 – профессором механико-математического факультета. В 1970-1988 гг. Понтрягин заведовал одной из кафедр факультета вычислительной математики и кибернетики. В 1935 году, без защиты диссертации, ему была присуждена степень доктора физико-математических наук. В этом же году Понтрягин получил звание профессора.

С 1934 года и до конца своих дней Лев Семенович работал и в МИАНе. В период с 1934 по 1939 год он был здесь старшим научным сотрудником. Двадцать лет (1939-1959 гг.) Понтрягин служил заведующим Отделом топологии и геометрии. С 1972 года ученый-математик работал и в ВИНИТИ, где до 1988 года числился старшим научным сотрудником. Лев Семенович был членом редколлегии журнала «Математика» с 1974 по 1980 год.

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Андрей Измаилов
Наш эксперт
Написано статей
116
Добавить комментарий