Гипотеза пуанкаре: формулировка и доказательство

Трехмерная сфера

По определению, сфера – совокупность точек, которые равноудалены от центра – некой фиксированной точки. Одномерная сфера расположена в двухмерном пространстве в виде окружности на плоскости. Двухмерная сфера – поверхность шара, его «корочка» — совокупность точек в трехмерном пространстве и, соответственно, трехмерная сфера – суть теоремы Пуанкаре – поверхность четырехмерного шара. Вообразить такой объект очень трудно, но, говорят, мы — внутри такого геометрического тела.

Математики приводят ещё и такое описание трехмерной сферы: допустим, что к нашему привычному пространству, считаемому неограниченным и определяемому тремя координатами (X, Y, Z), добавлена точка (на бесконечности) таким образом, что в неё всегда можно попасть, двигаясь в любом направлении по прямой линии, т.е. любая прямая в этом пространстве становится окружностью. Говорят, что есть люди, которые могут это вообразить и спокойно ориентироваться в таком мире.

Для них обычное дело – трехмерный тор. Такой объект можно получить путем дважды повторенного совмещения в одну точку двух, расположенных на противоположных (например, правой и левой, верхней и нижней) гранях куба. Чтобы попытаться представить трехмерный тор с привычных нам позиций, следует провести абсолютно нереальный эксперимент: необходимо выбрать направления, взаимно перпендикулярные, – вверх, влево и вперед – и начать двигаться в любом из них по прямой. Через какое-то (конечное) время с противоположного направления мы вернемся в исходную точку.

Такое геометрическое тело имеет принципиальное значение, если хотеть понять, что такое теорема Пуанкаре. Доказательство Перельмана сводится к обоснованию существования в трехмерном пространстве лишь одного односвязного компактного многообразия – 3-сферы, другие, как 3-тор, неодносвязные.

Научная деятельность

После получения ученой степени Анри стал преподавать в одном из канских вузов. В тот период биографии он представил ряд серьезных работ, посвященных автоморфным функциям.

Изучая автоморфные функции парень обнаружил их взаимосвязь с геометрией Лобачевского. В результате, предложенные им решения позволили вычислить любые линейные дифференциальные уравнения с алгебраическими коэффициентами.

Идеи Пуанкаре сразу же обратили на себя внимание авторитетных европейских математиков. В 1881 г

молодого ученого пригласили преподавать в Парижский университет. В те годы жизни он стал создателем нового раздела математики – качественной теории дифференциальных уравнений.

В период 1885-1895 гг. Анри Пуанкаре задался целью решить некоторые сверхсложные задачи в астрономии и математической физике. В середине 1880-х он принял участие в математическом конкурсе, выбрав самую сложную тему. Ему предстояло рассчитать движение гравитирующих тел Солнечной системы.

Анри Пуанкаре в молодости

Пуанкаре представил эффективные методы решения задачи, вследствие чего удостоился премии. Один из членов судейской бригады сказал, что после работы Анри в мире начнется новая эпоха в истории небесной механики.

Когда мужчине было около 32 лет ему доверили руководить кафедрой математической физики и теории вероятностей в Парижском университете. Здесь Пуанкаре продолжал писать новые научные труды, делая массу важных открытий.

Это привело к тому, что Анри избрали президентом Французского математического общества и членом Парижской академии наук. В 1889 г. из-под пера ученого выходит 12-томный труд «Курс математической физики».

Вслед за этим Пуанкаре опубликовал монографию «Новые методы небесной механики». Его труды в данной сфере являются крупнейшими достижениями в небесной механике со времен Ньютона.

В тот период биографии Анри Пуанкаре увлекался астрономией, а также создал новый раздел математики – топологию. Он является автором важнейших астрономических работ. Ему удалось обосновать существование фигур равновесия, отличных от эллипсоида (исследовал их устойчивость).

За это открытие в 1900 г. француз был награжден золотой медалью Лондонского королевского астрономического общества. Анри Пуанкаре издал ряд серьезных статей, затрагивающих топологию. В итоге он разработал и представил свою знаменитую гипотезу, названную его именем.

Имя Пуанкаре напрямую связано с успехом теории относительности. Интересен факт, что еще в 1898 г., задолго до Эйнштейна, Пуанкаре сформулировал общий принцип относительности. Он был первым, кто предположил, что одновременность явлений не абсолютна, а лишь условна.

Кроме этого Анри выдвинул версию о предельности скорости света. Однако, в отличие от Пуанкаре, Эйнштейн полностью отверг само понятие эфира, тогда как француз продолжал его использовать.

Еще одно значительное отличие позиций Пуанкаре и Эйнштейна заключалось в том, что ряд релятивистских заключений, Анри рассматривал как абсолютные эффекты, а Эйнштейн – как относительные. Очевидно, неглубокий анализ специальной теории относительности (СТО) в статьях Пуанкаре привел к тому, что коллеги не обратили на его идеи должного внимания.

В свою очередь Альберт Эйнштейн скрупулезно проанализировал основы данной физической картины и максимально подробно представил ее мировому сообществу. В последующие годы при обсуждении СТО имя Пуанкаре нигде не упоминалось.

Два великих математика встречались только однажды – в 1911 г. на Первом Сольвеевском конгрессе. Несмотря на неприятие теории относительности, лично к Эйнштейну Анри относился с почтением.

По мнению биографов Пуанкаре, стать законным автором теории относительности ему помешал поверхностный взгляд на картину. Если бы он провел глубокий анализ, включая измерение длины и времени, то именно его именем была бы названа данная теория. Однако ему, что называется, не удалось «дожать» до финальной точки.

За годы научной биографии Анри Пуанкаре представил фундаментальные труды почти во всех сферах математики, физике, механике, философии и других областях. Интересен факт, что пытаясь решить ту или иную задачу, он изначально полностью решал ее в уме и только потом записывал решение на бумаге.

У Пуанкаре была феноменальная память, благодаря чему он мог без труда дословно пересказывать прочитанные статьи и даже книги. Он никогда не работал подолгу над одной задачей.

Мужчина заявлял, что подсознание уже получило задние и сможет работать над ним даже тогда, когда мозг будет занят другими делами. Именем Пуанкаре названы десятки теорий и гипотез, что говорит о его необычайной продуктивности.

Образование

В детстве Анри Пуанкаре был увлечённым парнем, который с наслаждением занимался математикой. Несмотря на плохое зрение и низкую концентрацию, ему всегда удавалось быть лучшим в предметах, связанных с наукой и математикой. Он побеждал в многочисленных конкурсах и завоевал множество наград, а в 1871 году закончил лицей со степенью бакалавра в области наук и литературы. В 1873 году он поступил в Политехнический колледж, в котором продолжил изучение математики, а в 1874 году опубликовал свою первую диссертацию, написанием которой руководил Шарль Эрмит. С успехом закончив колледж в 1875 году он поступил в Горную школу Парижа и получил инженерную степень в 1879 году.

Детство

Пуанкаре Анри родился 29 апреля 1854 года во Франции, в небольшом городе Сите Дюкаль около Нанси. Его отец Леон Пуанкаре был врачом и преподавателем медицинского факультета. Мать, Эжени Лануа, была домохозяйкой, и много времени посвящала детям. У Анри была сестра Алина. С раннего детства мальчик страдал рассеянностью. На протяжении всей жизни Анри эта проблема его сопровождала. Однако, когда он повзрослел, стало понятно, что рассеянность является свидетельством его удивительной способности погружаться в собственные мысли, размышлять и анализировать.

В раннем детстве Пуанкаре переболел дифтерией. Из-за осложнения, которое дала болезнь, он несколько месяцев даже не мог ходить и говорить. В этот тяжелый период он приучил себя обращать больше внимания на звуки. С годами эта особенность вылилась в то, что звуки у будущего ученого стали ассоциироваться с определенными цветами. У многих людей такая способность наблюдается в детстве, но уходит к зрелости. У Пуанкаре же она сохранилась на всю жизнь.

Кто такой Анри Пуанкаре

Жюль Анри Пуанкаре (фр. Jules Henri Poincaré) родился 29 апреля 1854 в Нанси, Франция, а умер 17 июля 1912 в Париже, Франция. Он был французским ученым, в сферу интересов которого входили самые разные науки. Среди них были: математика, механика, физика, астрономия и философия.

Кроме того, что он занимался исследованиями, Анри Пуанкаре в разные годы также был главой Парижской академии наук, членом Французской академии и ещё более 30 академий мира, в том числе иностранным членом-корреспондентом Петербургской академии наук.

Чуть ли не единогласно историки называют Анри Пуанкаре одним из величайших математиков всех времён. Его ставили в один ряд с Гильбертом, последним математиком-универсалом, учёным, способным охватить все математические результаты своего времени.

Анри Пуанкаре сделал для математики настолько много, что некотрые его труды до сих пор приносят нам пользу.

Перу Анри Пуанкаре принадлежат более 500 статей и книг. Все это говорит о нем, как о гении, который даже спустя более 100 лет после своей смерти может изменить мир будущего своими теориями, формулами, рассуждениями и прочими научными трудами.

Политехническая и горная школы

Осенью 1873 года Анри стал студентом Политехнической школы. Первое время он был одним из лучших учеников, однако вскоре потерял свои позиции. Причиной тому стали несколько предметов, которые молодой ученый попросту не мог воспринимать всерьез. Среди них были черчение, рисование, а также военное искусство. Таким образом, Пуанкаре окончил школу не с самыми лучшими показателями. Позже он поступил в Горную школу, которая по тем временам считалась весьма престижным учебным заведением. Здесь Анри занимался кристаллографическими исследованиями.

В 1879 году молодой ученый защитил в Горной школе докторскую диссертацию, которая пришлась по душе профессору Сорбонны Г. Дарбу. Последний утверждал, что в одной работе Пуанкаре смог поместить столько материалов и идей, сколько хватило бы на несколько хороших диссертаций.

В апреле 1879 года Пуанкаре начал работать инженером в шахтах. Когда в одной из шахт произошел взрыв, вследствие которого погибли люди, Анри не побоялся спуститься на место взрыва, дабы исследовать причины и размеры трагедии. После защиты диссертации ученый начал преподавать математический анализ в Кане.

Многообразие

Если объект или пространство разделить на множество составных частей – окрестностей, окружающих какую-то точку, — то их общность называют многообразием. Именно такое понятие содержит теорема Пуанкаре. Компактность означает конечное число элементов. Каждая отдельная окрестность подчиняется законам традиционной – эвклидовой – геометрии, но вместе они образуют нечто более сложное.

Самая адекватная аналогия этих категорий – поверхность земли. Изображение её поверхности представляет собой карты отдельных её районов, собранные в атлас. На глобусе эти изображения обретают форму шара, который относительно пространства Вселенной превращается в точку.

Правительства Пуанкаре

Первое министерство Пуанкаре (21 января 1912 — 21 января 1913)

  • Раймон Пуанкаре — председатель Совета Министров и министр иностранных дел;
  • Александр Мильеран — военный министр;
  • Теодор Стег — министр внутренних дел;
  • Луи Люсьен Клоц — министр финансов;
  • Леон Буржуа — министр труда и условий социального обеспечения;
  • Аристид Бриан — министр юстиции;
  • Теофиль Делькассе — морской министр;
  • Габриэль Жюст’о — министр общественного развития и искусств;
  • Жюль Пам — министр сельского хозяйства;
  • Альбер Лебрен — министр колоний;
  • Жан Дюпюи — министр общественных работ, почт и телеграфов;
  • Фернан Давид — министр торговли и промышленности.

Изменения

12 января 1913 — Альбер Лебрен наследует Мильерану как военный министр. Рене Беснар наследует Лебрену как министр колоний.

Второе министерство Пуанкаре (15 января  — 29 марта )

  • Раймон Пуанкаре — председатель Совета Министров и министр иностранных дел;
  • Андре Мажино — военный министр;
  • Морис Монури — министр внутренних дел;
  • Шарль де Ластейре — министр финансов;
  • Альбер Пейронне — министр труда;
  • Луи Барту — министр юстиции;
  • Фламиниус Рэберти — морской министр;
  • Леон Берар — министр общественного развития и искусств;
  • Анри Шерон — министр сельского хозяйства;
  • Альбер Сарро — министр колоний;
  • Ив Ле Трокер — министр общественных работ;
  • Поль Страусс — министр гигиены, благотворительности и условий социального обеспечения;
  • Люсьен Диор — министр торговли и промышленности;
  • Шарль Рэбель — министр освобожденных областей.

Изменения

5 октября 1922 — Морис Колра наследует Барту как министр юстиции.

Третье министерство Пуанкаре (29 марта — 9 июня )

  • Раймон Пуанкаре — председатель Совета Министров и министр иностранных дел;
  • Андре Мажино — военный министр;
  • Жюстен де Сельв — министр внутренних дел;
  • Фредерик Франсуа-Марсаль — министр финансов;
  • Шарль Даниэль-Винсан — министр труда и гигиены;
  • Эдмон Лефевр дю Прей — министр юстиции;
  • Морис Бокановски — морской министр;
  • Анри де Жувенель — министр общественного развития, искусств и технического образования;
  • Жозеф Капю — министр сельского хозяйства;
  • Жан Фабри — министр колоний;
  • Ив Ле Трокер — министр общественных работ, портов и флота;
  • Луи Люшё — министр торговли, промышленности, почт и телеграфов;
  • Луи Марен — министр освобожденных областей.

Четвёртое министерство Пуанкаре (23 июля  — 11 ноября )

  • Раймон Пуанкаре — председатель Совета Министров и министр финансов;
  • Аристид Бриан — министр иностранных дел;
  • Поль Пенлеве — военный министр;
  • Альбер Сарро — министр внутренних дел;
  • Андре Фальер — министр труда, гигиены, благотворительности и условий социального обеспечения;
  • Луи Барту — министр юстиции;
  • Жорж Лейг — морской министр;
  • Эдуар Эррио — министр общественного развития и искусств;
  • Луи Марен — министр пенсий;
  • Анри Кей — министр сельского хозяйства;
  • Леон Перье — министр колоний;
  • Андре Тардьё — министр общественных работ;
  • Морис Бокановски — министр торговли и промышленности.

Изменения

  • 1 июня  — Луи Люшё наследует Фальеру как министр труда, гигиены, благотворительности и условий социального обеспечения.
  • 14 сентября  — Лоран Эйнак входит в министерство как министр авиации. Анри Шерон наследует Бокановски как министр торговли и промышленности, а также становится министром почт и телеграфов.
  • Раймон Пуанкаре — председатель Совета Министров;
  • Аристид Бриан — министр иностранных дел;
  • Поль Пенлеве — военный министр;
  • Андре Тардьё — министр внутренних дел;
  • Анри Шерон — министр финансов;
  • Луи Люшё — министр труда, гигиены, благотворительности и условий социального обеспечения;
  • Луи Барту — министр юстиции;
  • Жорж Лейг — морской министр;
  • Лоран Эйнак — министр авиации;
  • Пьер Марро— министр общественного развития и искусств;
  • Луи Антериу — министр пенсий;
  • Жан Эннесси — министр сельского хозяйства;
  • Андре Мажино — министр колоний;
  • Пьер Фаржо — министр общественных работ;
  • Жорж Боннефу — министр торговли и промышленности.

Лицей

Преподаватели в нансийском лицее радовались, что у них учится такой любознательный и прилежный ученик, как Пуанкаре Анри. Он получил такую хорошую домашнюю подготовку, что начал учиться сразу во втором классе. Прекрасно писал сочинения, арифметика тоже ему давалась легко, но особой любви к ней он пока не чувствовал.

Лишь через несколько лет к матери Пуанкаре Анри пришёл взволнованный учитель и предрёк её сыну великое математическое будущее. Но, несмотря на это, мальчик продолжил обучение на отделении словесности, штудируя латынь и античных классиков. Гуманитарное образование у великого учёного к шестнадцати годам получилось более чем полным. Тогда же произошли события огромного значения в жизни не только Франции, но и всей Европы: Франко-прусская война и Парижская Коммуна.

Горная школа

Идеи, которые искали и находили выход из его размышлений во время обучения в Горной школе, через несколько лет будут фундаментом докторской диссертации. Всё, что не касалось математики, уже перестало быть ему интересным, за исключением одной только минералогии. И даже не сама минералогия, а раздел её, касающийся кристаллографии. Потому что всё, что знал к тому моменту Анри Пуанкаре о науке, вьюном вилось вокруг теории групп, где кинематика твёрдого тела плюс кристаллография — одна из главных точек приложения этого раздела математики, в то время практически абстрактная. Так была написана диссертация. Она получила множество хвалебных отзывов от профессуры и деятелей науки. Защита диссертации дала право на преподавание в вузах, чем великий учёный и воспользовался, некоторое время поработав по распределению на шахтах Везуля. В 1979 году Анри Пуанкаре прибыл в Каннский университет преподавать математический анализ.

Одна из семи задач тысячелетия

В самом начале XXI века одно из подразделений американского университета в Кембридже — математический институт, основанный на средства бизнесмена Лэндона Т. Клэя — опубликовал список Millennium Prize Problems (проблем тысячелетия). Он содержал семь пунктов из классических научных задач, за решение каждой из которых учреждалась премия в миллион долларов:

• Равенство классов P и NP (о соответствии алгоритмов решения задачи и методов проверки их правильности). • Гипотеза Ходжа (о связи объектов и их подобия, составленного для их изучения из «кирпичиков» с определенными свойствами). • Гипотеза Пуанкаре (всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере).• Гипотеза Римана (о закономерности размещения простых чисел).• Теория Янга — Миллса (уравнения из области элементарных частиц, описывающие различные виды взаимодействий).• Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса (описывают турбулентность течений воздуха и жидкостей).• Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера (об уравнениях, описывающих эллиптические кривые).

Каждая эта проблема имела очень долгую историю, поиски их решения приводили к возникновению целых новых научных направлений, но единственно правильные ответы на поставленные вопросы не находились. Понимающие люди говорили, что деньги фонда Клэя в безопасности, но так было лишь до 2002 года – появился тот, кто доказал теорему Пуанкаре. Правда, деньги он не взял.

Математические заслуги

Серия заметок о фуксовых функциях, написанная Пуанкаре для французского журнала Compres Rendus, привлекла внимание именитых математиков (главным образом Вейерштрасса и Ковалевской) и вызвала в научном обществе неподдельный интерес. Следом за заметками последовало еще пять интересных работ на ту же тему

Открыв в конечном итоге автоморфные функции, математик получил должность преподавателя в Парижском университете. Переехав во французскую столицу, двадцатисемилетний Пуанкаре занимается семьей, преподавательской деятельностью, и тесно сотрудничает с молодыми математиками, Эмилем Пикаром и Полем Аппелем. Наставником тройки новоиспеченных ученых становится профессор Эрмит.

Вскоре в Париже издается работа Пуанкаре Анри под названием «О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями», которая состоит из четырех частей. Ранее данный метод оставался в научной среде без внимания. Ученый в этом трактате закладывает теорию устойчивости дифференциальных уравнений по малым параметрам и начальным условиям. В 1886 году герой нашего разговора возглавляет кафедру математической физики и теории вероятностей. А в 33 года он попадает в ряды французской Академии наук.

Изыскания ученого привели его к топологии. Он ввел в науку такие понятия, как число Бетти и фундаментальная группа, доказал формулу Эйлера-Пуанкаре и сформулировал общее понятие размерности. Французский математик сделал массу открытий в дифференциальной геометрии, алгебраической топологии, теории вероятностей и многих других направлениях математики. Ученый обнаружил связь между комформно-евклидовой моделью и задачами теории функций комплексного переменного. Это стало одним из первых серьезных приложений геометрии Лобачевского. Благодаря этому комформно-эвклидову модель часто называют «модель Пуанкаре – пространства Лобачевского». Кроме того Пуанкаре принадлежит авторство в работах по обоснованию принципа Дирихле.

Раймон Пуанкаре

Раймон Пуанкаре (фр. Raymond Poincaré) (20 августа 1860 года, Бар-ле-Дюк — 15 октября 1934 года, Париж). Французский государственный деятель, трижды служивший премьер-министром Франции, президентом Франции (Третья республика в 1913-1920 годах). Также был лидером партии консерваторов, направляя деятельность на политическую и социальную стабильность.

Имея опыт в юриспруденции, Пуанкаре в 1887 году был избран депутатом и служил в кабинетах Дюпюи и Рибо.

В 1902 году он стал сооснователем демократического республиканского альянса, наиболее важной правоцентристской партии Третьей республики, став в 1912 году премьер-министром и в 1913 году президентом. Он был отмечен за сильное антинемецкое отношение и дважды посещал Россию для поддержания стратегических связей

На Парижской мирной конференции Пуанкаре выступал за повторную оккупацию Рейнской области, которую он смог осуществить в 1923 году в качестве премьер-министра.

Родился в Бар-ле-Дюк, Мёз, Франция. Является сыном Николя Антонина Элена Пуанкаре (1825-1911), видного государственного служащего, инженера, метеоролога и генерального инспектора мостов и дорог; двоюродным братом знаменитого французского математика Анри Пуанкаре; внуком депутата, служившего во время царствования Луи-Филиппа, а также внуком декана медицинского факультета.

Получив образование в Нанси и на юридическом факультете Парижского университета, Пуанкаре был вызван для юридической практики в Париж, где некоторое время работал правовым редактором, а затем с 1879 года — стажёром в парижской адвокатуре. Далее был назначен первым секретарём Парижской конференции адвокатов и стал секретарём господина Генри де Бюи, известного бизнес-адвоката.

В 1883 году на открытии конференции юристов выступил с речью, в которой высоко оценил роль республиканца Дюфора, бывшего президента и премьер-министра, умершего двумя годами ранее.

В 1895 году открыл собственную юридическую фирму, которая быстро добилась больших успехов и имела престижную клиентуру в сфере прессы, литературы (например, представляли интересы Жюля Верна) и корпоративного права. Клиентами Пуанкаре являлись крупнейшие на то время промышленные и финансовые компании.

Получив юридическое образование в Париже, Пуанкаре сперва занимался адвокатурой, примечательно что во время своей практики он защищал Жюля Верна на процессе по делу незаконного использования образа изобретателя Тюрпена, и выиграл; в течение 1½ лет заведовал канцелярией министерства земледелия.

В 1886 г. был избран в палату депутатов и с тех пор занял видное место в рядах республиканской партии, примыкая по своим взглядам к старым оппортунистам. Был неоднократно выбираем докладчиком по бюджетным вопросам; в 1895 г. получил портфель министра финансов в кабинете Дюпюи.

С 1897 г. избирался в вице-президенты палаты депутатов. Напечатал: «Du Droit de suite dans la propriété mobiliére» (1883).

C 1903 г. сенатор; в 1906 г., после падения кабинета Рувье, принял портфель министра финансов в новообразовавшемся коалиционном кабинете Саррьена, являясь в нём представителем умеренных республиканцев.

Три раза был премьер-министром Франции (в том числе два раза после ухода с президентского поста; 1912-1913, 1922-1924, 1926-1929).

С 1909 член Французской академии (занял там место через год после избрания туда его двоюродного брата, великого математика Анри Пуанкаре).

Он два раза бывал в России с официальном визитом в 1912 и 1914 годах, в рамках деятельности русско-французского союза.

Основное событие его президентства — Первая мировая война, сторонником которой он считался (до её начала имел прозвище «Пуанкаре-война», фр. Poincaré la guerre). В момент тяжёлых испытаний для Франции, особенно в начальный период войны, Пуанкаре и его правительство во главе с Жоржем Клемансо достойно справились с организацией национальной обороны.

В годы англо-французской интервенции в Советской России были популярны демонстрации с плакатами: «Лорду — в морду!» (про Керзона) и «Пуанка́ре — получи по харе!»

Физика

Огромным также было влияние французского ученого на физику. Несмотря на то что Пуанкаре и Эйнштейн пользуются разной степенью популярности, Пуанкаре задолго до Эйнштейна раскрыл в своих статьях основы такого понятия, как теория относительности. Главной из таких статей была работа «Измерение времени». Вместе с тем ученому очень нравилась работа со студентами. Он читал довольно объемный курс по физике, который в дальнейшем был опубликован в виде двенадцатитомной книги. В своих наработках он затрагивал все актуальные вопросы и предлагал свой подход к их решению. Физик и математик Пуанкаре предвосхитил многие умозаключения других ученых, живших позже.

В 1902 году вышла работа Пуанкаре Анри о науке, получившая название «Наука и гипотеза». Она вызвала огромный резонанс в научном кругу. Через два года, выступая с лекцией в Америке, Пуанкаре производит настоящий фурор. В статье под названием «Заметки Академии наук», вышедшей в 1905 году, он доказывает инвариантность уравнений Максвелла касательно преобразований Лоренца. М. Борн считал, что теория относительности не является заслугой какого-то определенного ученого. Это результат коллективной работы блистательных умов со всего мира. К ним, безусловно, относится и Пуанкаре Анри.

Теория Пуанкаре в квантовой системе

Если мы говорим о том, что в традиционной системе повторения возможны и даже неизбежны, то можно предположить, что в квантовой системе, в которой возможны несколько состояний, все немного иначе. Оказывается, это не так, и труды Пуанкаре могут быть применены и к квантовым системам. Однако правила будут немного иными.

Проблема применения заключаются в том, что состояние квантовой системы, которая состоит из большого количества частиц, не может быть измерено с большой точностью, не говоря уже об идеальном измерении. Более того, можно сказать, что частицы в таких системах можно рассматривать в качестве полностью независимых объектов. Учитывая запутанности, не сложно понять, что при анализе таких систем придется столкнуться с большим количеством сложностей.

Несмотря на это, ученые не были бы учеными, если бы не попытались продемонстрировать эффект повторения Пуанкаре в том числе и в квантовых системах. Сделать это у них получилось. Вот только пока это возможно только для систем с очень небольшим числом частиц. Их состояние нужно измерить как можно точнее и обязательно учесть его.

Золотые слова!

Сказать, что сделать это сложно — ничего не сказать. Главная сложность в том, что время, которое потребуется системе для возвращения в исходное состояние, будет очень сильно возрастать даже при незначительном увеличении количества частиц. Именно поэтому некоторые ученые анализируют не систему в целом, а ее отдельные частицы. Они пытаются понять, возможно ли возвращение к первоначальному значению некоторых участков этой системы.

Для этого они изучают и анализируют поведение ультрахолодного газа. Он состоит из тысяч атомов и удерживается на месте при помощи электромагнитных полей. Описать характеристики подобного квантового газа можно несколькими величинами. Они говорят о том, насколько тесно могут быть связаны частицы с помощью эффектов квантовой механики

В обычной жизни это не так важно и может даже показаться чем-то ненужным, но в квантовой механике это имеет решающее значение

В итоге, если понять, как такие величины характеризуют систему в целом, можно будет говорить о возможности квантового возвращения. Получив такие знания, можно более смело говорить о том, что мы знаем, что такое газ, какие процессы в нем происходят и даже прогнозировать последствия воздействия на него.

Квантовые системы сильно отличаются от всего, что мы можем себе представить.

В последнее время ученые смогли доказать, что квантовые состояния могут возвращаться, но некоторые поправки в концепцию повторения внести все же стоит. Не стоит пытаться измерить всю квантовую систему в целом, ведь эта задача близка к невозможности. Куда правильнее будет сосредоточиться на некоторых ее элементах, которые можно измерить и предсказать поведение системы в целом.

Если сказать более смело, то такие исследования и наработки в сфере самых разных наук приближают создание настоящего квантового компьютера, а не тех тестовых систем, которые существуют сейчас. Если дело продвинется, то нас ждет большое будущее. А сначала казалось, что это просто измерение чего-то непонятного. Не так ли?

Доказательство гипотезы

Односвязному трехмерному пространству присваиваются геометрические свойства, оно разделяется на метрические элементы, которые имеют расстояния между собой с образованием углов. Для упрощения берется в качестве образца одномерное многообразие, в котором на эвклидовой плоскости к гладкой замкнутой кривой проводятся в каждой точке касательные вектора, равные 1. При обходе кривой вектор поворачивается с определенной угловой скоростью, равной кривизне. Чем сильнее изгиб линии, тем больше кривизна. Кривизна имеет положительный наклон, если вектор скорости повернут в сторону внутренней части плоскости, которую делит линия, и отрицательный, если повернут вовне. В местах перегиба кривизна равна 0. Теперь каждой точке кривой назначается вектор, перпендикулярный вектору угловой скорости, а длиной равный величине кривизны. Он повернут внутрь, когда кривизна имеет положительный наклон, и вовне – когда отрицательный. Соответствующий вектор определяет направление и скорость, с которой движется каждая точка на плоскости. Если провести в любом месте замкнутую кривую, то при такой эволюции она превратится в окружность. Это справедливо для трехмерного пространства, что и требовалось доказать.

Пример: из воздушного шара при деформации без разрывов можно сделать разные фигуры. Но бублик сделать не получится, для этого его нужно только разрезать. И наоборот, имея бублик, никак не сделаешь цельный шар. Хотя из любой другой поверхности без разрывов при деформации можно получить сферу. Это свидетельствует о том, что эта поверхность гомеоморфна шару. Любой шар можно обвязать ниткой с одним узлом, с бубликом это сделать невозможно.

Шар – это самая простая трехмерная плоскость, которую можно деформировать и свернуть в точку и наоборот.

Важно! Гипотеза Пуанкаре утверждает эквивалентность замкнутого n-мерного многообразия n-мерной сфере в случае его гомеоморфности ей. Она стала отправной точкой в развитии теории о многомерных плоскостях.

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Андрей Измаилов
Наш эксперт
Написано статей
116
Добавить комментарий