Родоначальник античной науки фалес милетский и его теоремы

Вариации и обобщения

Используемая в геометрии теорема Фалеса с доказательством имеет много нюансов, которые нужно учитывать тем, кто решил изучить эту тему. Если абсолютно идентичные отрезки начинаются от вершины треугольника, то и обратная форма теоремы будет уместной. Для пересекающихся линий предназначена следующая формулировка: если 2 линии пересекают ближайшие прямые, отсекая при этом равные между собой отрезки начиная от самой верхней части, то такие прямые считаются параллельными. Эти нюансы часто не учитывают учащиеся, из-за чего допускают грубые ошибки.

Максимального сходства отрезков на обеих секущих линиях нужно требовать в том случае, если секущие являются параллельными. В противном случае утверждение становится неактуальным. Учащимся нелишним будет узнать следующий закон: L является математическим соответствием между двумя точками прямых линий w и q. Тогда элементарное множество прямых D L (D) будет множеством касательных к некоторому коническому сечению. В приведённой Фалесом теореме в роли конического сечения будет выступать удалённая точка, которая максимально соответствует направлению параллельных линий.

Фалес Милетский как ученый

Поздняя античная традиция единодушна в том, что все свои первоначальные научные и философские знания Фалес почерпнул в Азии и в Африке, т. е. в Вавилонии, Финикии и Египте. Прокл утверждает, что Фалес принес в Элладу из Египта геометрию. Ямвлих говорит, что свою мудрость Фалес Милетский почерпнул у жрецов Мемфиса и Диополиса. Согласно Аэцию, Фалес занимался философией уже в Египте. Он прибыл в Милет уже далеко не молодым человеком.

В античной традиции Фалес Милетский – первый астроном и математик. Младший современник его, Гераклит, знает Фалеса не как философа, а лишь как астронома, прославившегося предсказанием солнечного затмения. Однако, как и вавилоняне и египтяне, он не понимал того, что действительно происходит на небе во время затмений. Его представления о небе были совершенно неверными. Фалес просто опирался на ту периодичность замечаний, которую обнаружили жрецы Аккада, Шумера, Египта.

Фалесу Милетскому приписывалось также открытие годового движения Солнца на фоне «неподвижных» звезд, определение времени солнцестояний и равноденствий, понимание того, что Луна светит (как все философоведы и в том числе историки философии) не своим светом, и т. п. В небесных телах он видел воспламенившуюся землю. Фалес разделил небесную сферу на пять зон. Он ввел календарь, определив продолжительность года в 365 дней и разделил его на 12 тридцатидневных месяцев, отчего пять дней выпадали из месяцев и были помещены в начало года так, как это было принято в те времена в Египте.

В области геометрии Фалес установил ряд равенств: вертикальных углов, треугольников с равной стороной и равными прилегающими к ней углами, углов при основании равнобедренного треугольника, разделенных диаметром частей круга. Фалес вписал в круг прямоугольный треугольник. Ученым жрецам Вавилонии и Египта это было известно, но для Эллады стало открытием. Однако принципиально новое состояло в том, что уже Фалес стал преподавать математику не только в эмпирической, но и в отвлеченной форме.

Как физик Фалес Милетский пытался понять причину летних разливов Нила. Он ошибочно нашел ее во встречном пассатном ветре, который, затрудняя движение воды Нила, вызывал повышение его уровня. Нил же разливается в результате летнего таяния снегов в одном его истоке и летних дождей в другом, эти верховья были найдены с громадными жертвами со стороны энтузиастов-путешественников только в прошлом веке.

Обобщение теоремы Фалеса.

Формулировка:

Параллельные прямые, пересекающие две данные прямые, отсекают на этих прямых пропорциональные отрезки.

Доказать:

=…= .

Доказательство:

Докажем, например, что

Рассмотрим два случая:

1 случай

Прямые a и b параллельны. Тогда четырехугольники А1А2В2В1 и А2А3В3В2 – параллелограммы. Поэтому А1А2=В1В2 и А2А3=В2В3, откуда следует, что

2 случай

Прямые a и b не параллельны. Через точку А1 проведем прямую с, параллельную прямой b. Она пересечет прямые А2В2 и А3В3 в некоторых точках С2 и С3. Треугольники А1А2С2 и А1А3С3подобны по двум углам (угол А1 – общий, углы А1А2С2 и А1А3С3 равны как соответственные при параллельных прямых А2В2 и А3В3 секущей А2А3), поэтому

Отсюда по свойству пропорций получаем:

(1)

С другой стороны, по доказанному в первом случае имеем А1С2=В1В2, С2С3=В2В3. Заменяя в пропорции (1) А1С2 на В1В2 и С2С3 на В2В3, приходим к равенству

(2)

что и требовалось доказать.

Геометрия Фалеса — начало наук

Первые науки возникли из практики. Астрономия была нужна, чтобы находить путь по звездам, предсказывать начало полевых работ, а геометрия (в переводе с греческого означает «землемерие») — чтобы измерять участки земли и возводить здания.

Считается, что геометрию привез в Грецию из Египта Фалес Милетский. Он был представителем ионийской философии и основателем милетской философской школы. Названия произошли от Ионии — области в Малой Азии — и греческого города Милета, находившегося в этой области.

В ионийской, а потом и элейской школах ученые постепенно переходили от практики к теории.

В основе теории лежали аксиомы — положения, принимаемые без доказательств. На основе аксиом удавалось доказывать теоремы.

Считается, что Фалес доказал теорему о том, что равноугольные треугольники имеют пропорциональные стороны. Благодаря этому он умел находить высоту предмета по его тени, поскольку треугольник определяется одной стороной и двумя прилежащими к ней углами. Фалес измерил высоту пирамиды, «наблюдая тень пирамиды в тот момент, когда наша тень имеет такую же длину, как и мы сами».

Также он доказал теорему о том, что если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на этой прямой равные отрезки.

Теорема Фалеса

Формулировка теоремы:

Две пары параллельных прямых, отсекающие на одной секущей равные отрезки, отсекают на любой другой секущей также равные отрезки.

Доказательство:

1) Проведём отрезки А1M и A2C, параллельные прямой b.

2) Треугольники А1ОA2 и A2CA3 равны по второму признаку равенства треугольников (А1А2=А2А3;угол A2А1О равен углу A3A2C; угол А1A2О равен углу A2A3C).

3) Из равенства треугольников следует, что A1О= А2С, а т. к. А2С=OM, то A1O=ОМ; A1O =B1B2, OM = B2B3, следовательно B1B2=B2B3.

ч. т. д.

Также неважно, где находятся отрезки на секущих. Рассмотрим вариант с. Также неважно, где находятся отрезки на секущих

Рассмотрим вариант с несвязанными парами отрезков, который не рассматривается в школьной программе: пусть угол пересекают прямые AA1 BB1 CC1 DD1 и при этом AB = CD

Также неважно, где находятся отрезки на секущих. Рассмотрим вариант с несвязанными парами отрезков, который не рассматривается в школьной программе: пусть угол пересекают прямые AA1 BB1 CC1 DD1 и при этом AB = CD

Доказательство в случае секущих

Доказательство:

1) Дополнительные построения: проведём через точки A и C прямые, параллельные другой стороне угла. Получим два параллелограмма AB2B1A1 и CD2D1C1. Согласно свойству параллелограмма: AB2 = A1B1 и CD2 = C1D1.

2) Рассмотрим треугольники АВ2В и СD2D:

AB = CD согласно условию теоремы.

Углы ВАВ2 и DCD2 равны как соответственные, образовавшиеся при пересечении параллельных АВ2 и СD2 прямой АD.

Углы АВВ2 и СDD2 DCD2 равны как соответственные, образовавшиеся при пересечении

BB1 и DD1 прямой АD, следовательно треугольники АВ2В и СD2D равны на основании второго признака равенства треугольников.

3)A1B1 = C1D1 как соответственные элементы в равных треугольниках АВ2В и СD2D.

ч. т. д.

Вариации и обобщения [ | ]

Обратная теорема

Если в теореме Фалеса равные отрезки начинаются от вершины (часто в школьной литературе используется такая формулировка), то обратная теорема также окажется верной. Для пересекающихся секущих она формулируется так:

В обратной теореме Фалеса важно, что равные отрезки начинаются от вершины

Таким образом (см. рис.) из того, что
C
B
1
C
A
1
=
B
1
B
2
A
1
A
2
=

{\displaystyle {\frac {CB_{1}}{CA_{1}}}={\frac {B_{1}B_{2}}{A_{1}A_{2}}}=\ldots }
, следует, что
A
1
B
1
|
|
A
2
B
2
|
|

{\displaystyle A_{1}B_{1}||A_{2}B_{2}||\ldots }
.

Если секущие параллельны, то необходимо требовать равенство отрезков на обеих секущих между собой, иначе данное утверждение становится неверным (контрпример — трапеция, пересекаемая линией, проходящей через середины оснований).

Этой теоремой пользуются в навигации: столкновение судов, двигающихся с постоянной скоростью, неизбежно, если сохраняется направление с одного судна на другое.

Лемма Соллертинского

Следующее утверждение, двойственно к лемме Соллертинского :

Пусть
f
{\displaystyle f}

— проективное соответствие между точками прямой
l
{\displaystyle l}

и прямой
m
{\displaystyle m}

. Тогда множество прямых будет множеством касательных к некоторому коническому сечению (возможно, вырожденному).

В случае теоремы Фалеса коникой будет бесконечно удалённая точка, соответствующая направлению параллельных прямых.

Это утверждение, в свою очередь, является предельным случаем следующего утверждения:

Фалес Милетский интересные факты геометрия. Краткая биография

Исторических данных о жизни Фалеса практически не сохранилось. Имеется лишь ряд разрозненных и, порой, противоречивых упоминаний в трудах более поздних античных авторов. Единственная точная дата, которую можно отнести к жизни греческого философа, это дата затмения, которое он предсказал — 585 г. до н. э. Все остальное, в том числе и даты рождения и смерти, весьма приблизительно.

Известно, что Фалес происходил из знатного рода, имел хорошее образование. Жил в Милете*. По некоторым источникам являлся финикийцем либо имел финикийские корни. Будучи торговцем, много путешествовал. Живя в Фивах в Египте, Мемфисе, много общался со жрецами, обучаясь их премудростям. Принято считать, что в Египте им были почерпнуты геометрические знания, с которыми он затем познакомил соотечественников. По возвращении на родину создал философскую Милетскую школу, самыми известными последователями которой называются Анаксимен и Анаксимандр.

В античности ему были приписаны сочинения в прозе: «О началах», «О солнцестоянии», «О равноденствии», «Морская астрология». Сами эти названия говорят о Фалесе как об ученом и философе, искавшем физическое начало мироздания. К сожалению, от этих трудов дошли до нас только их названия.

* Милет — древнегреческий город в Карии на западном побережье Малой Азии, находившийся к югу от устья реки Меандр.

Вот некоторые факты из жизни Фалеса:

Фалес принимал живое участие в политике, советуя ионийским полисам объединиться против внешних врагов: вначале против Лидии, а затем — Персии. Но советам милетского философа не вняли.

Во время борьбе Лидии с Персией Фалес понимал, что Персия для греков опасные лидийцев и поэтому содействовал последним. Будучи военным инженером на службе у царя Лидии Крёза, Фалес, чтобы облегчить переправу войска, пустил реку Галис по новому руслу. Неподалеку от г. Мител он спроектировал плотину и водоотводный канал и сам руководил их постройкой. Это сооружение значительно понизило уровень воды в Галисе и сделало возможной переправу войск. Этот эпизод имел место во время войны Крёза (царя Лидии) с персами.

Сохранились сведения, что Фалес дружил с Фрасибулом, милетским тираном, имел какое-то отношение к храму Аполлона Дидимского.

Показательные истории, связанные с именем Фалеса:

Однажды гружённый солью мул, переходя вброд речку, внезапно поскользнулся. Содержимое тюков растворилось, а животное, поднявшись налегке, сообразило в чём дело, и с тех пор при переправе мул намеренно окунал мешки в воду, наклоняясь в обе стороны. Прослышав об этом, Фалес велел наполнить мешки вместо соли шерстью и губками. Гружённый ими мул попытался проделать старый трюк, но добился обратного результата: поклажа стала значительно тяжелее

Говорят, что впредь он переходил реку так осторожно, что ни разу не замочил груз даже нечаянно

Когда Фалеса, по причине его бедности, укоряли в бесполезности философии, он, сделав по наблюдению звезд вывод о грядущем урожае маслин, ещё зимой нанял все маслодавильни в Милете и на Хиосе. Нанял он их за бесценок (потому что никто не давал больше), а когда оказалось что маслин уродилось очень много, спрос на маслодавильни тутже возрос и Фалес начал сдавать их по высоким ценам. Собрав таким образом много денег, он показал, что философы при желании легко могут разбогатеть, но это не то, о чём они заботятся. Аристотель, из записей которого до нас и дошел этот факт, подчеркивает: урожай Фалес предсказал «по наблюдению звезд», то есть благодаря знаниям.

Теорема, обратная к теореме Фалеса

Как я уже отмечал выше, на уроках мы изучали некоторые теоремы, обратные к хорошо известным нам. В дальнейшем исследовании я постараюсь ответить на вопрос: верна ли теорема, обратная к теореме Фалеса. Рассмотрим разные случаи.

Вывод: Если в теореме Фалеса равные отрезки начинаются от вершины, то обратная теорема оказалась верной. Для пересекающихся секущих она формулируется так:

Если прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной и на другой стороне угла равные (или пропорциональные) между собой отрезки, начиная от вершины, то такие прямые параллельны.

В обратной теореме Фалеса важно, что равные отрезки начинаются от вершины. Если секущие параллельны, то необходимо требовать равенство отрезков на обоих секущих между собой, иначе данное утверждение становится неверным (был приведён контрпример — трапеция, пересекаемая линией, проходящей через середины оснований

Если секущие параллельны, то необходимо требовать равенство отрезков на обоих секущих между собой, иначе данное утверждение становится неверным (был приведён контрпример — трапеция, пересекаемая линией, проходящей через середины оснований.

Научное пояснение значений

Если постараться поочерёдно отложить сразу несколько одинаковых отрезков только на одной из двух прямых линий, а потом провести прямые через конечные точки, которые смогут пересечь вторую прямую, то именно на второй прямой они смогут отсечь равные отрезки. Развёрнутая формулировка этой темы в геометрии носит название теоремы о пропорциональных геометрических отрезках. В качестве наглядного примера следует ознакомиться с этой формулой: S1S2/N1В2 = S2S3/N2N3 = S1S3/N1N3.

Важные нюансы:

Для изучения всех нюансов этой темы необходимо рассмотреть вариант, который демонстрирует ситуацию с несвязанными парами отрезков. К примеру: существующий угол пересекает прямые LL1 || ВВ1 || СС1 || КК1 и при этом LB = СК. Через точки L и С проводят прямую линию, которая будет расположена параллельно другой стороне сформированного угла LB2В1L1 и СК2К1С1. Свойства параллелограмма тоже имеют свои особенности:

Краткое описание

Фалес хорошо известен в истории как талантливый геометр. Именно этому человеку многие учёные приписывают открытие и доказательство многих теорем. Фалес смог разработать весьма интересный способ определения точного расстояния от берега до видимого невооружённым взглядом водного транспорта. Некоторые историки склонны полагать, что именно для этих целей учёный использовал признак некоего сходства прямоугольных треугольников. Современные последователи великого математика высоко ценят все его достижения, что он смог вывести и доказать многочисленные теоремы, законы.

Наиболее логическое доказательство правильности предположений на основании единых положений, принятых за проверенные истины, было изобретено именно греками. Сегодня историкам трудно сказать, что именно в научном перечне принадлежит Фалесу. Конечно, благодаря этому талантливому человеку Греция обрела не только философа и математика, но и естествоиспытателя.

Перед изучением теоремы обязательно нужно понять, что параллелограмм — это самый обычный четырёхугольник, у которого все противоположные стороны попарно параллельны. А вот трапеция является специфическим четырёхугольником, у которого две стороны параллельны друг другу, а две другие стороны обладают противоположными характеристиками. Изучение этой темы состоит из нескольких частей, так как первым делом нужно ознакомиться с теорией, а только потом можно приступать к решению задач.

Литература

  • Асмус В. Ф. Античная философия. — М.: Высшая школа, 1998. — С. 10—13.
  • Диоген Лаэртский. О жизни, учениях и изречениях знаменитых философов; пер. М. Л. Гаспаров; ред. тома А. Ф. Лосев — М.: Мысль, 1986. — С. 61—68.
  • Колчинский И.Г., Корсунь А.А., Родригес М.Г. Астрономы: Биографический справочник. — 2-е изд., перераб. и доп.. — Киев: Наукова думка, 1986. — 512 с.
  • Лосев А. Ф. История античной эстетики. Ранняя классика. — М.: Ладомир, 1994. — С. 312—317.
  • Лебедев А. В. Фалес и Ксенофан (Древнейшая фиксация космологии Фалеса) // Античная философия в интерпретации буржуазных философов. — М., 1981.
  • Лебедев А. В. Демиург у Фалеса? (К реконструкции космогонии Фалеса Милетского) // Текст: семантика и структура. — М., 1983. — С. 51—66.
  • Махлак К. А. // Махлак К. А. История античной философии. Введение в христианскую мысль. — СПб.: Издательство Института философии и богословия, 2009. — 312 с. — ISBN 978-5-902461-07-4.
  • Петрова Г. И. Были ли досократики натурфилософами («Вода» Фалеса как «трансцендентальная» проблема) // Вестник Томского государственного университета. Философия. Социология. Политология. — 2008. — № 1. — С. 29—33.
  • Радлов Э. Л., Бобынин В. В. Фалес Милетский // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
  • Фрагменты ранних греческих философов. Часть 1: От эпических теокосмогоний до возникновения атомистики, изд. А. В. Лебедев. — М.: Наука, 1989. — с. 110—115.
  • Храмов Ю. А. Фалес Милетский (Θαλῆς ὁ Μιλήσιος, Thales the Milesian, Thales of Miletus) // Физики: Биографический справочник / Под ред. А. И. Ахиезера. — Изд. 2-е, испр. и дополн. — М.: Наука, 1983. — 400 с. — 200 000 экз. (в пер.)
  • Чайковский Ю. В. Фалесова наука в историческом контексте // Вопросы философии. — 1997. — № 8. — С. 151—165.
  • Чайковский Ю. В. Что же умел Фалес как астроном? // Древняя астрономия: Небо и человек. Труды конференции.. — М.: ГАИШ, 1998. — С. 259—265.
  • Чайковский Ю. В. Два Фалеса — поэт и математик. // Институт истории естествознания и техники им. С. И. Вавилова. Годичная научная конференция, 2007. — М.: ИДЭЛ, 2008. — С.314-315.
  • Dicks D. R. Thales. Classical Quarterly, NS, V. 9, 1959. — p. 294—309.
  • White S. A. Milesian Measures: Time, Space, and Matter // In: P. Curd and D. Graham (Eds.), Oxford Handbook to Presocratic Philosophy. — Oxford: Oxford University Press, 2008. — P. 89—133.

Затмение Фалеса:

  • Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука II. Рождение астрономии. — М.:Наука, 1991. — С. 135—137.
  • Чайковский Ю. В., Лекции о доплатоновом знании. — М., КМК, 2012. — с. 84-87.
  • Couprie D. L. How Thales was able to ‘predict’ a solar eclipse without the Help of alleged Mesopotamian wisdom. Early Science and Medicine, V. 9, 2004, p. 321—337.
  • Hartner W. (1969), Eclipse Periods and Thales’Prediction of a Solar Eclipse Historic Truth and Modern Myth. Centaurus, 14: 60-71. doi: 10.1111/j.1600-0498.1969.tb00136.x
  • Mosshammer A. A.. Thales’ eclipse. Transactions of the American Philological Association, V. 111, 1974, p. 145.
  • Panchenko D.. Thales’s prediction of a solar eclipse. Journal for the History of Astronomy, V. 25, 1994, p. 275.
  • Querejeta M., On the Eclipse of Thales, Cycles and Probabilities, Culture And Cosmos, Vol. 15, no. 1, Spring/Summer 2011, pp. 5–16.
  • Stephenson F. R., Fatoohi L. J.. Thales’ prediction of a solar eclipse. Journal for the History of Astronomy, V. 28, 1997, p. 279.

Наука

Астрономия

Фалес ввёл календарь по египетскому образцу (в котором год состоял из 365 дней, делился на 12 месяцев по 30 дней, и пять дней оставались выпадающими).

Геометрия

Файл:Thales theorem 1.png

Считается, что Фалес первым сформулировал и доказал несколько геометрических теорем, а именно:

  • вертикальные углы равны;
  • имеет место равенство треугольников по одной стороне и двум прилегающим к ней углам;
  • углы при основании равнобедренного треугольника равны;
  • диаметр делит круг на две равные части;

Фалес научился определять расстояние от берега до корабля, для чего использовал подобие треугольников. В основе этого способа лежит теорема, названная впоследствии теоремой Фалеса: если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают равные отрезки на одной его стороне, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Легенда рассказывает о том, что Фалес, будучи в Египте, поразил фараона Амасиса тем, что сумел точно установить высоту пирамиды, дождавшись момента, когда длина тени палки становится равной её высоте, и тогда измерил длину тени пирамиды.

Физика

Фалесу приписываются следующие положения:

  1. Земля плавает в воде (как кусок дерева, корабль или какое-нибудь другое , которому по природе свойственно держаться на плаву в воде); землетрясения, вихри и движения звёзд происходят оттого, что всё качается на волнах по причине подвижности воды.
  2. Земля плавает в воде, а Солнце и другие небесные тела питаются испарениями этой воды.
  3. Звезды состоят из земли, но при этом раскалены; Солнце — землистого состава ; Луна — землистого состава .
  4. Земля находится в центре Вселенной; при уничтожении Земли рухнет весь мир.

То есть Фалес утверждает, что Земля как суша, как собственно тело, физически держится на некоей «опоре», которая имеет свойства воды (неабстрактные, то есть конкретно текучесть, неустойчивость и т. п.).

Положение 3) является почти буквальным указанием на физическую природу звёзд, Солнца и Луны — они состоят из материи (не из собственно такого же материала, как это денотативно понимает Аристотель); при этом температура весьма высока.

Вариации и обобщения

Обратная теорема

Если в теореме Фалеса равные отрезки начинаются от вершины (часто в школьной литературе используется такая формулировка), то обратная теорема также окажется верной. Для пересекающихся секущих она формулируется так:

В обратной теореме Фалеса важно, что равные отрезки начинаются от вершины

Таким образом (см. рис.) из того, что
C
B
1
C
A
1
=
B
1
B
2
A
1
A
2
=

{\displaystyle {\frac {CB_{1}}{CA_{1}}}={\frac {B_{1}B_{2}}{A_{1}A_{2}}}=\ldots }
, следует, что
A
1
B
1
|
|
A
2
B
2
|
|

{\displaystyle A_{1}B_{1}||A_{2}B_{2}||\ldots }
.

Если секущие параллельны, то необходимо требовать равенство отрезков на обеих секущих между собой, иначе данное утверждение становится неверным (контрпример — трапеция, пересекаемая линией, проходящей через середины оснований).

Этой теоремой пользуются в навигации: столкновение судов, двигающихся с постоянной скоростью, неизбежно, если сохраняется направление с одного судна на другое.

Лемма Соллертинского

Следующее утверждение, двойственно к лемме Соллертинского :

Пусть
f
{\displaystyle f}

— проективное соответствие между точками прямой
l
{\displaystyle l}

и прямой
m
{\displaystyle m}

. Тогда множество прямых будет множеством касательных к некоторому коническому сечению (возможно, вырожденному).

В случае теоремы Фалеса коникой будет бесконечно удалённая точка, соответствующая направлению параллельных прямых.

Это утверждение, в свою очередь, является предельным случаем следующего утверждения:

Пусть
f
{\displaystyle f}

— проективное преобразование коники. Тогда огибающей множества прямых
X
f
(X)
{\displaystyle Xf(X)}
будет коника (возможно, вырожденная).

Члены ро втоо «союз художников россии» республики башкортостан

Классицизм в художественной культуре и живописи

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Андрей Измаилов
Наш эксперт
Написано статей
116
Добавить комментарий