Решение задач на взвешивания. 1. задачи на сравнения с помощью весов. — презентация

Презентация на тему: » Решение задач на ВЗВЕШИВАНИЯ. 1. Задачи на сравнения с помощью весов.» — Транскрипт:

1

Решение задач на ВЗВЕШИВАНИЯ

2

1. Задачи на сравнения с помощью весов

3

Задача 1 На одной чашке весов лежат 6 одинаковых яблок и 3 одинаковые груши, на другой чашке – 3 таких же яблока и 5 таких же груш. Весы находятся в равновесии. Что легче: яблоко или груша?

4

Решение Представим, что мы сняли с каждой чаши весов поровну: по 3 яблока и 3 груши. Тогда 3 яблока уравновешивают 2 груши. Следовательно, одно яблоко легче одной груши.

5

Задача 2 Груша и слива весят столько, сколько весят 2 яблока; 4 груши весят столько, сколько весят 5 яблок и 2 сливы. Что тяжелее: 7 яблок или 5 груш?

6

Задача 3 Арбуз и лимон весят столько, сколько дыня. Два арбуза весят столько, сколько дыня и лимон вместе. Сколько надо лимонов, чтобы уравнять в весе дыню?

7

Задача 4 4 чашки и 1 кувшин весят столько, сколько весят 17 свинцовых шариков. 1 кувшин весит столько же, сколько 7 свинцовых шариков и 1 чашка. Сколько шариков уравновешивает кувшин?

8

2. Задачи на взвешивания на весах с гирями

9

Задача 5 Кирпич весит 2 кг и ещё полкирпича. Сколько весит кирпич?

10

Задача 6 На одной чашке весов лежит кусок мыла, а на другой три четверти такого куска и еще три четверти килограмма. Весы находятся в равновесии. Сколько весит кусок мыла?

11

Задача 7 У хозяйки есть рычажные весы и гиря в 100 г. Как за 3 взвешивания она может отвесить 700 г крупы?

12

Задача 8 На плохо отрегулированных весах бабушка взвесила два пакета сахарного песка – получилось 500 г и 300 г. Когда же она взвесила на тех же весах оба пакета вместе, то получилось 900 г. Определите по этим данным вес каждого пакета.

13

3. Задачи на взвешивания на весах без гирь

14

Задача 11 Из трёх одинаковых с виду монет одна фальшивая, но неизвестно, она тяжелее или легче остальных. Как определить фальшивую монету, сделав не более двух взвешиваний на чашечных весах без гирь?

15

Задача 12 Буратино имеет четыре одинаковых по виду монеты, одна из которых не золотая, а фальшивая и легче других. Как Буратино определить фальшивую монету? Какое минимальное число взвешиваний ему потребуется?

16

Задача 13 Имеются чашечные весы без гирь и 5 одинаковых по виду монет, одна из них фальшивая (легче других). За какое минимальное число взвешиваний можно найти фальшивую монету?

17

Задача 14 Имеются 8 с виду одинаковых монет. Одна из них фальшивая и известно, что она легче настоящей. Как с помощью всего лишь двух взвешиваний найти фальшивую монету? В вашем распоряжении только лабораторные весы, которые показывают только больше-меньше.

18

Задача 15 Из 9 монет одна фальшивая – она легче остальных. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь можно определить фальшивую монету?

19

Задача 16 Имеется 10 монет. Одна из них фальшивая и легче настоящей монеты. Как, с помощью чашечных весов без гирь, определить какая из монет фальшивая?

20

Задача 17 Из 27 монет одна фальшивая – она легче остальных. За какое наименьшее число взвешиваний на чашечных весах без гирь можно определить фальшивую монету?

21

ВНИМАНИЕ! В следующих задачах неизвестно фальшивая монета легче или тяжелее настоящей

22

Задача 18 Из 3 одинаковых с виду монет одна фальшивая, но неизвестно, она тяжелее или легче остальных. Как определить фальшивую монету, сделав не более двух взвешиваний на чашечных весах без гирь?

23

Задача 19 У Буратино среди 15 одинаковых с виду монет одна фальшивая. Неизвестно, она тяжелее или легче остальных. Как узнать, фальшивая монета тяжелее или легче настоящих, сделав не более двух взвешиваний на чашечных весах без гирь?

24

Задача 20 Из 60 одинаковых по виду монет одна отличается от других по массе. Двумя взвешиваниями определить, легче она или тяжелее остальных.

25

Задача 21 Среди 101 одинаковых по виду монет одна фальшивая, отличающаяся по весу. Как с помощью чашечных весов без гирь за два взвешивания определить, легче или тяжелее фальшивая монета? Находить фальшивую монету не требуется.

26

ВНИМАНИЕ! В следующих задачах вид весов изменился

27

Задача 22 Имеются три мешка с монетами, в двух из них настоящие монеты весом 10 г каждая, а в одном фальшивые монеты весом 9 г каждая. Есть весы, показывающие общий вес положенных на них монет. Как с помощью одного взвешивания найти, в каком мешке фальшивые монеты, если из любого мешка можно брать любое число монет для взвешивания?

28

Задача 23 Имеются 10 мешков с монетами, в девяти из них настоящие монеты весом 10 г каждая, а в одном фальшивые монеты весом 9 г каждая. Есть весы, показывающие общий вес положенных на них монет. Как с помощью одного взвешивания найти, в каком мешке фальшивые монеты?

Общее правило

Общее правило определения числа минимальных взвешиваний следующее. Если дано N монет, среди которых одна монета отличается по весу, и это число N не является степенью числа 3, то надо найти
ближайшие к N два числа, которые являются степенями числа 3. Показатели степеней числа 3 для этих двух чисел и будут равны числу минимальных взвешиваний. Если N точно является степенью числа
3, то показатель степени числа 3, будет одним минимальным числом взвешиваний.

В нашем примере N=100. Данное число не является степенью числа 3. Значит, ищем ближайшие к 100 степени числа 3. Это числа 81 и 243. При этом 34=81 и 35=243.
Значит, числа 4 и 5 являются минимальным числом взвешиваний для поиска фальшивой монеты среди 100 монет.

Если число монет 59’049, то это число является точной степенью числа 3, а именно: 310=59049. Значит, для поиска фальшивой монеты среди 59’049 монет нужно будет сделать точно 10
взвешиваний.

Понятно, что это правило и этот же алгоритм будут работать, если фальшивая монета не легче настоящей, а тяжелее её. Но в общем случае нужно обязательно заранее знать, какая из монет тяжелее, настоящая
или фальшивая, чтобы правильно определять, с какой группой монет работать на следующем взвешивании.

Навигация

  • ФОРУМ
  • Забавные головоломки
  • Задачи с подвохом
  • Старинные и сказочные головоломки
  • Математические задачи
    • Алгоритмы
    • Вероятности
    • Вычисления
    • Геометрия
    • Комбинаторика
    • Логика и рассуждения
    • Принцип Дирихле
    • Соответствия
    • Числовые ребусы
  • Задачи из книги Р. Смаллиана
  • Загадки про время
  • Задачи со словами
    • Анаграммы
    • Антифразы
    • Логогрифы
    • Метаграммы
    • Омографы
    • Омонимы
    • Псевдонаучный бред
    • Шарады
  • Несерьезные задачи
  • Физические задачи
  • Детские загадки
    • Природные явления
    • Животные
    • Растения
    • Инструменты и предметы
    • Прочие
  • Взвешивания и переливания
  • Головоломки со спичками
  • Последовательности
  • Задачи для нестандартно мыслящих
  • Логические трюки
  • Исторические задачи
  • Фокусы
  • Задачи по картинкам
  • Головоломки общества МЕНСА
  • WWW-задачи
  • Дитлоиды
  • Скачать книги с головоломками
  • Друзья сайта
  • Флеш-игры

Переезд через пустыню

Военный автомобиль с важным посланием должен пересечь пустыню. Однако полного бензобака хватает только на половину пути. В распоряжении военной базы имеется несколько таких автомобилей, и бензин можно перекачивать из одного бака в другой. Никакими канистрами и тросами они воспользоваться не могут.
Как доставить сообщение, не бросая ни одного автомобиля в пустыне? (Попробуйте для наглядности проиграть ситуацию с игрушечными машинками.)

Всего понадобится 4 машины, включая ту, в которой находится ценное послание (та, что доедет до середины пустыни). Чтобы она пересекла пустыню и достигла место назначения, надо будет на середине пути заново заполнить бензобак под горлышко. Путь от военной базы (где машины и бензин) до середины пустыни можно условно поделить на три части. Каждая из трех вспомогательных машин короткими «перебежками» между условными отметками и базой сможет при каждой поездке сливать треть бензобака в другую вспомогательную машину, находящуюся ближе к главной машине.
За несколько поездок туда-сюда методом эстафеты вспомогательные машины в конечном счёте смогут полностью заправить главную машину, чтобы та смогла продолжить свой путь через вторую половину пустыни. Решение (на Английском)

Загадки про примеры и задачи

Загадки про примеры и задачи с ответами для детей.

Загадка №1

Три плюс три и пять плюс пять,
Нужно это сосчитать.
Есть знак «плюс» и знак «равно»,
Может, «минус» — все равно.
Складываем, вычитаем,
Так… мы решаем.

(Ответ: Примеры)

***

Загадка №2

Ученик я хоть куда,
Не балую никогда,
Хоть я и не пионер,
Но ребятам всем…

(Ответ: Пример)

***

Загадка №3

У нее нет ничего:
Нет ни глаз, ни рук, ни носа,
Состоит она всего
Из условия с вопросом.

(Ответ: Задача)

***

Загадка №4

Я сижу, едва не плача,
Очень трудная…

(Ответ: Задача)

***

Загадки про таблицу умножения

Загадки про таблицу умножения с ответами для детей.

Загадка №1

Хожу и повторяю,
И снова вспоминаю:
Дважды два — четыре,
Пятью три — пятнадцать.
Чтобы все запомнить,
Нужно постараться.
Это достижение —…

(Ответ: Таблица умножения)

***

Загадка №2

Но, а, скажем, пятью пять?
Надо тут поразмышлять,
Точно все пересчитать
И ответить …

(Ответ: 25)

***

Загадка №3

Сколько будет дважды два?
Сложный ли вопрос спросили?
Знает даже детвора,
Что ответ —

(Ответ: 4)

***

Загадка №4

Шестью шесть — тут сложно,
Запутаться возможно.
Но прошу я вас учесть —
Будет ровно

(Ответ: 36)

***

Загадка №5

3 котенка вечерком
Заглянули к кошке в дом –
Свяжи-ка нам носочки
Из шерсти, что в клубочках.
Помогите сосчитать,
Сколько надо ей связать.

(Ответ: 12)

***

Загадка №6

Сварила им кошка
27 рыбешек.
По 3 хватило всем.
Сколько котят рыбок съедят?

(Ответ: 9)

***

Загадки про геометрические фигуры с ответами для детей.

Загадки про круг

Загадки про круг с ответами для детей.

Загадка №1

Прикатилось колесо,
Ведь похожее оно,
Как наглядная натура
Лишь на круглую фигуру.
Догадался, милый друг?
Ну, конечно, это …

(Ответ: Круг)

***

Загадка №2

Ни угла, ни стороны,
А родня – одни блины.

(Ответ: Круг)

***

Загадки про треугольник

Загадки про треугольник с ответами для детей.

Загадка №1

Три вершины,
Три угла,
Три сторонки – Кто же я?

(Ответ: Треугольник)

***

Загадка №2

Три угла, три стороны.
Могут разной быть длины.
Если стукнешь по углам,
То скорей подскочишь сам!

(Ответ: Треугольник)

***

Загадка №3

Три вершины тут видны,
Три угла, три стороны, –
Ну, пожалуй, и довольно! –
Что ты видишь? – …

(Ответ: Треугольник)

***

Находчивый студент

К продавцу, студенту-математику, подрабатывющему летом торговлей у бочки с квасом, подходят два веселых приятеля и просят налить им по литру кваса каждому. Продавец замечает, что у него есть лишь две емкости, трехлитровая и пятилитровая, и он не может выполнить их просьбу. Приятели предлагают 100 долларов, если продавец сможет выполнить их заказ, причем выдать им порции продавец должен одновременно. После некоторого размышления, продавец сумел это сделать. Каким образом? Заметим, что при переливаниях квас не теряется и что полные емкости позволяют точно отмерять объемы 3 и 5 литров. 

Еще более сложная задача

Пусть теперь у нас не один вид фальшивых монет, а два вида фальшивых монет. Пусть для определенности настоящая монета весит 10 грамм, первый вид фальшивой монеты весит 9 грамм и фальшивая монета второго
вида весит 8 грамм.

Для N=1 всё, по прежнему, очень тривиально. Берем из мешка одну монету и взвешиваем её.

А для N=2 взять из второго мешка 2 монеты уже не получится. Ведь если вес всех взятых монет окажется меньше на 2 грамма, чем был бы вес настоящих монет, то эта ситуация соответствует двум разным
наборам монет. Так получается, если взяли одну фальшивую монету второго вида (легче на 2 грамма) из первого мешка и настоящие 2 монеты из второго мешка, а также, если из первого мешка взяли настоящую
монету, а из второго мешка взяли две фальшивые монеты первого вида (легче на 1 грамм).

Получается, что для N=2 из 2-го мешка надо уже взять 3 монеты.

Рассуждая точно также, как в предыдущей задаче, мы приходим к выводу, что для N=3 из 3-го мешка надо взять 9 монет. Для N=4 из 4-го мешка нужно брать 27 монет.

Итак, когда у нас 3 вида монет (одна настоящая и два вида фальшивых), то из мешков надо брать число монет, которое соответствует последовательным степеням числа 3.

Число взятых из мешка монет kn связано с номером мешка n формулой

kn = 3(n-1)

Если в мешках все монеты только настоящие весом g, тогда общий вес всех взятых монет будет

Введем понятие минимального шага между весами монет Δg = g — g1, где g, это вес настоящей монеты, а g1, это вес ближайшей по значению
фальшивой монеты. В нашем примере g = 10 грамм, а g1 = 9 грамм.

Обратите внимание, что понятие минимального шага между весами монет вводится только тогда, когда веса всех монет можно получить из веса настоящей монеты, отнимая (или прибавляя) от неё последовательно
минимальные шаги между весами. Наш пример с весами монет 10, 9 и 8 грамм подходит под этот случай, так как g1 = g — Δg, и g2 = g1 —
Δg

Если бы второй вид фальшивой монеты весил бы не 8 грамм, а, например, 7, то понятие минимального шага между весами ввести бы не получилось.

Если при взвешивании взятых из мешка монет, их вес оказался бы равен G, то распределительное число вычисляется по формуле

Это распределительное число нужно перевести в третичную систему исчисления и также посмотреть на него справа налево. Номера тех разрядов, где стоят нули, будут соответствовать номерам тех мешков, где
находятся настоящие монеты. Номера тех разрядов, где стоят цифры 1, будут соответствовать номерам тех мешков, где находятся фальшивые монеты, которые отличаются весом от настоящих монет на один минимальный
шаг между весами монет (g1 = g — 1*Δg). Номера тех разрядов, где стоят цифры 2, будут соответствовать номерам тех мешков, где находятся фальшивые монеты, которые
отличаются весом от настоящих монет на 2 минимальных шага между весами монет (g2 = g — 2*Δg).

Обратите внимание, что в такой трактовке вес настоящей монеты должен быть или самым большим по сравнению с весами фальшивых монет или самым маленьким по сравнению с весами остальных монет. В последнем
случае минимальный шаг Δg является отрицательным

И, соответственно, более тяжелые фальшивые монеты приводят к тому, что числитель формулы для вычисления распределительного числа P тоже
становится отрицательным (если имеются фальшивые монеты).

Посмотрим пример.

Пусть фальшивые монеты имеют веса 8 грамм и 9 грамм, а настоящая монета весить 10 грамм. И пусть всего 6 мешков (N=6). Если бы все монеты были бы настоящие, то вес всех монет, взятых из 6 мешков,
был бы 10*(36-1)/2 = 3640 грамм. Но допустим, реально их вес оказался только 3433.

Получаем распределительное число P = (3640-3433)/1 = 207. Запишем 207 в третичной системе:

207 = 021200

Здесь спереди числа в третичной системе сразу добавлен ноль, чтобы цифр в числе было столько же, сколько и число мешков N=6.

Смотрим на это третичное число справа налево и видим искомое распределение. В первых двух мешках с номерами 1 и 2 находятся настоящие монеты, в мешке номер 3 находятся фальшивые монеты, которые отличаются
от настоящих монет на два минимальных шага, то есть с весом 8 грамм. В мешке номер 4 находятся фальшивые монеты, которые отличаются от настоящих на один минимальный шаг, то есть которые весят 9 грамм.
Далее в мешке номер 5 снова находятся фальшивые монеты весом 8 грамм. И, наконец, в последнем 6-м мешке находятся настоящие монеты.

Действительно, число 207 можно представить как:

207 = 9*2 + 27*1 +81*2

Отсюда хорошо видно, что из 3-го мешка берутся 9 монет с недостатком в 2 грамма у каждой монеты, из 4-го мешка берутся 27 монет с недостатком в 1 грамм и из 5-го мешка 81 монета с недостатком в 2 грамма у
каждой монеты.

Взвешивания

Задачи на взвешивания — достаточно распространённый вид математических задач. В таких задачах от решающего требуется локализовать отличающийся от остальных предмет по весу за ограниченное число взвешиваний. Также в этой рубрике можно найти задачи на переливание, в которых необходимо получить определенное количество жидкости, используя емкости заданного объема.Последние задачи форума:

Переливания

В бочке 16 ведер кваса. Надо поделить его попалам, имея 2 пустых емкости 6 и 11 ведер.

Просмотры: 38252 | Комментарии: 48 | Рейтинг: +302

Переливания молока

Есть 3 битона емкостью 14  9  и  5 литра. В большом — 14 литров молока остальные пусты. Как с помощью этих сосудов разлить 14 литров пополам за 14 операций?

Просмотры: 20725 | Комментарии: 27 | Рейтинг: +142

Ворочать мешки

Сбоку стоит по одному мешку, затем идут пары мешков, а посредине вы видите три мешка. Получилось так, что если мы умножим пару, 28, на один мешок, 7, то получится 196, что и указано на средних мешках. Но если вы умножите другую пару, 34, на ее соседа, 5, то не получите при этом 196. Нужно переставить эти девять мешков, как можно меньше надрываясь, так, чтобы каждая пара, умноженная на своего соседа, давала число, стоящее в середине.

Просмотры: 19576 | Комментарии: 14 | Рейтинг: +140

Уравнять сервиз

Сколько требуется стаканов чтобы уравнять весы на последней картинке. Доставлять предметы можно только на правую часть весов.

Просмотры: 26399 | Комментарии: 45 | Рейтинг: -85

Веселый молочник

Трое ребят пришли к веселому молочнику за молоком с битонами 3, 4 и 5 литра и попросили налить каждому по 2 литра.У молочника есть 2 полных  больших фляги по 50 литров каждая. Немного подумав, молочник легко справился с этим заданием.

А вы ?

Просмотры: 25104 | Комментарии: 21 | Рейтинг: +112

Выделить 5 литров

В бочке 20 литров вина. Сосед просит налить ему 5 литров а сам пришел с ведрами на 7 и 13 литров. Нет проблем — сказал хозяин. Как он поступил?

Просмотры: 46451 | Комментарии: 39 | Рейтинг: +288

Разложить спички

Спички разложены в три кучки по 11, 7 и  6 спичек. Надо разложить их на 3 кучки, чтобы в каждой было по 8 спичек. Сделать это нужно за три хода, при этом добавлять можно только столько спичек, сколько уже есть в кучке.

Просмотры: 23083 | Комментарии: 21 | Рейтинг: +153

Элементарное переливание

Винодел обычно продает свое вино по 30 и по 50 литров и использует для этого кувшины только такого размера. Один из покупателей захотел купить 10 литров.

Задачи на взвешивание — СПИШИ У АНТОШКИ

Как винодел отмерил ему 10 литров пользуясь совими кувшинами?

Просмотры: 22215 | Комментарии: 33 | Рейтинг: +206

Мешки с золотом

Есть 10 мешков с золотом. В каждом по 10 монет. В девяти мешках монеты настоящие, а в одном — все фальшинвые. Одна настоящая монета весит 5 грамм, а фальшивая — 4 грамма. Есть весы, показывающие вес в граммах.

Необходимо за одно взвешивание точно определить, в каком мешке фальшивые монеты

Просмотры: 189720 | Комментарии: 164 | Рейтинг: +3210

Набираем воду

Как, имея пятилитровое ведро и девятилитровую банку, набрать из реки ровно три литра воды?

Просмотры: 33077 | Комментарии: 40 | Рейтинг: +275

Килограмм кофе

После работы Подпандопий возвращался мимо своей любимой кофейной лавки и решил зайти купить кофе себе и любимой тёще.
— Здравствуйте, — радостно сказал Подпандопий.
— Здравствуйте, только не говорите, что вы пришли купить кофе, — сказал продавец.
— Как Вы догадались? — Не видя подвоха, спросил Подпандопий.
— Видите ли… — у продавца на лице нарисовалась виноватая улыбка. — Все наши весы с гирями отправили на поверку, так что никакого товара на развес я Вам взвесить не смогу.
— А вон те весы двучашечные работают? — Подпандопия было не остановить, он не хотел уходить с пустыми руками.
— Да, работают до сих пор, это первые весы нашего заведения, правда, они уже стоят тут в качестве украшения — к ним не осталось комплектов гирь.
— Так ведь у вас есть наверняка товар с известным весом?
— Да, но вес указывается нетто, а товар в упаковках.
 — Хорошо, — Подпандопий точно решил уйти из лавки или с кофе, или…. не уйти… — У меня есть с собой фотоаппарат, и я точно знаю его вес — 650 грамм. Также на мне шляпа, вес которой я тоже знаю с точностью до грамма — 300 грамм.
— Ну что ж, я поверю Вам, сколько Вам кофе? 300 грамм? 650? 950?
— Два по 500, мне и любимой тёще. — Сказал Подпандопий, снимая шляпу.
— Но как я взвешу ровно 500….?
— Прошу, быстрее, мне еще орешков надо успеть купить.

Как за минимальное количество взвешиваний отмерить 2 порции кофе по 500 грамм?

Очень сильно упрощенная задача

Максимально упрощенная задача выглядит так. Имеется N мешков с монетами. Во всех мешках, кроме, возможно, одного мешка, находятся настоящие монеты. И, возможно, в одном мешке находятся фальшивые
монеты. Нужно с помощью одного взвешивания найти мешок с фальшивыми монетами, если таковой имеется.

Пусть для определенности настоящая монета весит, например, 10 грамм, а фальшивая весит 9 грамм, то есть на 1 грамм легче. И так как мы математики, то, естественно, что у нас все мешки пронумерованы
числами от 1 до N.

При N=1 задача решается тривиально. Берем одну монету из мешка и взвешиваем её. Если она весит 10 грамм, то в мешке настоящие монеты. А если она весит на 1 грамм меньше, то это мешок с фальшивыми
монетами.

Для N=2 очень легко можно сообразить, что из первого мешка нужно взять одну монету, а из второго мешка нужно взять 2 монеты. Если во всех двух мешках только настоящие монеты, то эти три монеты
вместе будут весить 30 грамм. Если первый мешок с фальшивыми монетами, то вес будет 9 + 10 + 10 = 29 грамм, то есть на 1 грамм меньше. Если фальшивые монеты во втором мешке, то вес будет 10 + 9 + 9 = 28
грамм, то есть на 2 грамма меньше, чем надо.

Для N=3 поступаем также. Из мешка номер 1 берем 1 монету, из мешка номер 2 берем 2 монеты, и из мешка номер 3 берем 3 монеты. Итого взяли 6 монет. Если они все настоящие, то их общий вес будет 60
грамм. Если их вес на 1 грамм меньше, то фальшивые монеты в 1-м мешке, если на 2 грамма меньше, то во 2-м мешке, и если на 3 грамма меньше, то фальшивые монеты в 3-м мешке.

Итак, для общего числа мешков N, из каждого мешка берем число монет равное номеру мешка. И затем смотрим, на сколько грамм вес взятых монет оказался меньше того веса, который был бы, если бы все
монеты были бы настоящие. Если полный вес взятых монет оказался ожидаемым весом для настоящих монет, то есть меньше на 0 грамм, то фальшивых монет нет. Если вес оказался меньше на n грамм, чем
ожидаемый, то фальшивые монеты находятся в мешке номер n.

Ожидаемый общий вес взятых из мешков монет в случае только настоящих монет вычисляется по формуле суммы арифметической прогрессии:

10 + 20 + 30 + … + 10n + … +10N = 10N(N+1)/2

В общем случае, если настоящая монета весит g грамм, то ожидаемый вес взятых монет будет

gN(N+1)/2

Если фальшивая монета весит g грамм, то разница в весе двух монет будет Δg = g — g. Тогда полный вес G всех взятых из мешка монет будет

G = gN(N+1)/2 — nΔg

Отсюда находим номер мешка

n = (gN(N+1)/2 — G)/Δg

Например, если N=8, настоящая монета весит 10 грамм, фальшивая весит 16 грамм, а вес всех взятых из мешков монет получился равным 390 грамм, то

n = (10*8*(8+1)/2 — 390)/(10-16) = (360 — 390)/(-6) = 5

То есть тяжелыми фальшивыми монетами по 16 грамм наполнен мешок номер 5.

Задачи на взвешивание

Но известно, что Кот Базилио заменил одну монету на фальшивую, а она по весу тяжелее настоящих. Как за три взвешивания на чашечных весах без гирь Буратино определить фальшивую монету?

Решение

Разделим монеты на 3 кучки по 9 монет. Положим на чаши весов первую и вторую кучки; по результату этого взвешивания мы точно узнаем, в какой из кучек находится фальшивка (если весы покажут равенство, то она — в третьей кучке).

Теперь, аналогично, разделим выбранную кучку на три части по три монеты, положим на весы две из этих частей и определим, в какой из частей находится фальшивая монета. Наконец, остается из трех монет определить более тяжелую: кладем на чаши весов по 1 монете — фальшивкой является более тяжелая; если же на весах равенство, то фальшивой является третья монета из части. Задача решена.

Задача 2.

Золушка

Мачеха послала Золушку на рынок. Дала ей девять монет: из них 8 настоящих, а одна фальшивая – она легче чем настоящая. Как найти ее Золушке за два взвешивания?

Решение

Разделим 9 монет на 3 равных кучки. Положим на чаши весов первую и вторую кучки; по результату этого взвешивания мы точно узнаем, в какой из кучек находится фальшивка (если весы покажут равенство, то она — в третьей кучке). Остается из трех монет определить более легкую: кладем на чаши весов по 1 монете — фальшивкой является более легкая; если же на весах равенство, то фальшивой является третья монета.

Задача 3.

Фальшивая монета

Среди 101 одинаковых по виду монет одна фальшивая, отличающаяся по весу. Как с помощью чашечных весов без гирь за два взвешивания определить, легче или тяжелее фальшивая монета? Hаходить фальшивую монету не требуется.

Решение

Взвешиваем 50 и 50 монет: два случая.

1 случай. Равенство. Берем оставшуюся монету и ставим ее в левую кучку вместо одной из имеющихся там:

а) Левая кучка тяжелее => фальшивая монета тяжелее;

б) Левая кучка легче => фальшивая монета легче.

2 случай. Неравенство. Берем более тяжелую кучку и разбиваем ее на две кучки по 25 монет:

а) Вес кучек одинаковый => фальшивая монета легче;

б) Вес кучек неодинаковый => фальшивая монета тяжелее.

Задача 4.

Фальшивая монета 2

Имеется 8 монет. Одна из них фальшивая и легче настоящей монеты. Определите за 3 взвешивания какая из монет фальшивая.

Решение

Делим монеты на две равные кучки – по 4 монеты в каждой. Взвешиваем. Ту кучку, которая легче, опять делим на две одинаковых кучки – теперь по две монеты в каждой. Взвешиваем. Определяем, какая из них легче. Кладем на чаши весов по 1 монете из этой кучки. Фальшивая та, которая легче. Задача решена.

Задача 5.

Фальшивая монета 3

Имеется 10 монет. Одна из них фальшивая и легче настоящей монеты. Как, с помощью чашечных весов без гирь, определить какая из монет фальшивая?

Решение

Разделим 10 монет на 2 равных кучки – по 5 монет. Положим на чаши весов. Определим, в какой из этих кучек находится фальшивая монета. Теперь эту кучку делим на 3 кучки – в двух из них по две монеты, в третьей одна монета. Взвешиваем кучки, в которых по две монеты. Если весы покажут равенство, то фальшивка в третьей кучке. Если покажут неравенство, то фальшивая монета в кучке, которая легче. Теперь кладем на чаши весов по 1 монете из этой кучки – фальшивкой является более легкая. Задача решена.

Задача 6.

Пример задач базового уровня егэ по математике

1-я задача. В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

  • за 3 золотых монеты можно получить 4 серебряных и одну медную монету;
  • за 7 серебряных монет можно получить 4 золотых и одну медную.

У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 42 медных. на сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?

Решение. Пусть у Николая стало на 21k серебряных монет меньше. Здесь 21 получено как произведение 7 и 3. Используя такое обозначение в дальнейшем будет легче считать.

Первоначально меняем 21k=3k*7 серебряных монет на 3k(4з+1м)=12k з+3k м, т.е. на 12k золотых монет и 3k медных.

Теперь меняем золотые: 12k з+3k м=4k*3 з+3k м=4k*(4 с+1 м)+3k м=16k c +7k м

По условию задачи медных стало 42 монеты, поэтому получаем уравнение:

7k=42

Откуда находим, что k=6

Таким образом было серебряных монет 6*21. Стало 6*16. Т.е. изменилось на 6*21-6*16=6*5=30.

Ответ. Количество серебряных монет изменилось на 30.

2-я задача. В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

  • за 3 золотых монеты можно получить 4 серебряных и одну медную монету;
  • за 6 серебряных монет можно получить 4 золотых и одну медную.

У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 35 медных. на сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?

 Ответ: 70.

Попробуйте решить эту задачу самостоятельно.

P.S. На мой взгляд это самые сложные задачи из базового егэ по математике. Остальные на порядок проще, готовясь к профильному экзамену, к базовому подготовитесь автоматически.

9 знаменитых математических головоломок, о которых будет интересно узнать вашим детям

Математические головоломки как способ помериться интеллектуальными силами всегда увлекали людей. Расскажем о нескольких широко известных задачках, над которыми ломали голову десятки поколений.

Разберите подборку головоломок вместе с детьми: «разомнете» мозги, весело проведете время и знание истории «прокачаете»! Если Вам понравились наши задачки, вы можете найти в интернете интересные задачки, дошедшие до наших дней из «древности», и приближенные к «нашему» времени.

  • Папирус Ахмеса
  • Задача о переправе
  • Печать царя Соломона
  • Головоломка Фибоначчи о кроликах
  • Задача Тартальи «Трудное наследство»
  • Головоломка Льюиса Кэрролла
  • «Безумный разрез» Мартина Гарднера
  • Сингапурская головоломка
  • Танграм

Одна из таких задач – печать царя Соломона

На гробнице мудрого легендарного библейского царя Соломона потомки изобразили знаменитую печать правителя.

Попробуйте сосчитать, сколько равносторонних треугольников изображено на печати.

Печать царя Соломона: ответ

31 треугольник.

«Безумный разрез» Мартина Гарднера

Мартин Гарднер — известный американский писатель, математик-любитель, автор множества статей и книг по занимательной математике, научно-популярных этюдов, математических фокусов, головоломок и задач на сообразительность и множества других публикаций.

Предлагаем решить одну из самых популярных головоломок Гарднера.

Сделайте один разрез (или нарисуйте одну линию) — не обязательно, прямую — чтобы разделить нарисованную фигуру на две одинаковые части.

«Безумный разрез» Гарднера: ответ

Намёк был верен. Линия действительно изогнутая.

Танграм

Согласно легенде, головоломка была создана несколько тысяч лет назад тремя древнекитайскими мудрецами для сына императора. Правитель хотел чтобы через простую игру его сын постиг начала математики, научился видеть окружающий мир глазами художника, стал терпеливым, как философ, и осознал, что сложные вещи состоят из простых.

Так появился «Ши-Чао-Тю» — квадрат, разрезанный на семь частей:
5 треугольников (2 больших, 2 маленьких, 1 средний), квадрат и параллелограмм.

Суть «свободной» игры в танграм – собирать из имеющихся деталей по принципу мозаики всевозможные фигурки: животных, птиц, человека, что угодно. Младшим дошкольникам предлагают простой вариант развивающей игры, когда фигурки танграма нужно просто наложить на готовый образец-ответ.

Многие дети в 5-7 лет складывают модели из фигурок рядом с изображением-ответом, даже если размеры вырезанных фигур и деталей на картинке отличаются.

Танграм как головоломка обычно по силам ребенку начиная с 6-7 лет. Все так же — из элементов танграма нужно сложить готовую модель, но на карточке изображен лишь силуэт фигуры.

Вырежьте элементы танграма из бумажного, картонного или другого квадрата, и для начала предлагаем собрать одну из популярных фигурок — бегущего человека, как на рисунке выше.

Помните 2 правила головоломки:
1) необходимо использовать все 7 фигурок головоломки;
2) фигуры не должны накладываться друг на друга.

Показать готовую фигурку

Среди поклонников танграма были Льюис Кэрролл и Наполеон Бонапарт. Считается, что именно «танграмом» назвал игру американский шахматист, изобретатель «пятнашек» и многих других головоломок, Самюэль Лойд.
В 21 веке самые интересные проявления танграма встречаются в дизайне мебели, одежды, ландшафтном дизайне и архитектуре.

Решение

Перенумеруем монеты: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13.
Первое взвешивание проведём так:I. 1, 2, 3, 4 ? 5, 6, 7, 8
Для второго взвешивания уберём с первой чаши 3 монеты 1, 2, 3, перенесём туда со второй чаши монеты 5, 6, 7 и поместим на вторую чашу монеты 9, 10, 11.II. 5, 6, 7, 4 ? 9, 10, 11, 8.
Какими могут быть результаты первых двух взвешиваний? (Будем обозначать равновесие знаком =, а отклонение в ту или иную сторону – знаками < или >)

(=, =)
Если оба раза равновесие не нарушилось, то фальшивых монет на весах не было. Следовательно, это или 12 или 13. в таком случае, третьим взвешиванием может быть III. 1 ? 12
При равенстве фальшивая монета – 13 (заметьте, что нас не просили указать её вес, а только найти), при неравенстве – 12.

(=, >)
Неравенство во втором взвешивании могли внести только новые введённые монеты: 9, 10 или 11, причём точно известно, что фальшивая монета легче настоящей. Тогда третьим взвешиванием сравниваемIII. 9 ? 10
Фальшивой будет более лёгкая, а при равенстве – монета 11.

Случай (=, <) рассматривается аналогично, с той поправкой, что фальшивая тяжелее настоящей.

(<, =)
Монеты, нарушавшие равновесие в первом взвешивании, были убраны с весов во втором, следовательно, фальшивая среди 1, 2, 3 и она легче настоящей. За одно взвешивание, сравнив III. 1 ? 2
Фальшивой монетой будет более лёгкая, а при равновесии – монета 3.

(<, <)
После перекладываний монет положение чаш не изменилось. Значит или монета 4 лёгкая, или монета 8 тяжёлая. Сравнением III. 1 ? 4
фальшивая монета находится. Если левая чаша перетянет, то это 4, при равновесии – это 8.

(<, >)
Так изменить положение чаш весов могло только перекладывание монет 5, 6, 7 с правой чаши на левую. При этом, поскольку в первом взвешивании более тяжёлой была правая чаша, а во втором –левая, то фальшивая монета тяжелее настоящей и её опять-таки можно найти одним взвешиванием.

Случаи (>, <), (>, =), (>, >) рассматриваются аналогично, отличаясь лишь весом фальшивой монеты. Поскольку разобраны все варианты, задача решена.

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Андрей Измаилов
Наш эксперт
Написано статей
116
Добавить комментарий